Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a x ou y. Então, calcule a área da região.
y=x^3, y=x

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a região fechada pelas curvas y=x^3 e y=x, escolher se é melhor integrar em x ou y e, em seguida, calcular a área por integração.

Passo 2

Primeiro passo é achar onde as duas curvas se cruzam, resolvendo
x^3 = x implies x(x^2 - 1)=0 implies x=-1,;0,;1

Passo 3

Agora vamos ver qual curva fica acima ou abaixo em cada trecho. Para xin[0,1] temos x^3, então em [0,1] o topo é y=x e o fundo é y=x^3. Para xin[-1,0] vale x^3>x, então em [-1,0] o topo é y=x^3 e o fundo é y=x.

Passo 4

É mais direto integrar em x, montando a área como soma de duas integrais:
A=integral-1^0l(x^3 - xr),dx ,+integral0^1l(x - x^3r),dx

Passo 5

Agora calculamos cada integral. Para F(x)=tfracx^44-tfracx^22 temos
integral-1^0(x^3 - x),dx = F(0)-F(-1)=0 -l(tfrac14-tfrac12r)=tfrac14,
integral0^1(x - x^3),dx = F(1)-F(0)=l(tfrac14-tfrac12r)-0=tfrac14

Passo 6

Somando as duas partes vem a área total.

Resposta

A área da região é tfrac12.

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