Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a
ou
. Então, calcule a área da região.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região limitada pelas curvas y = 1 e y = x^9 no intervalo de x de 0 a 1 e, em seguida, calcular a área dessa região. O conteúdo usado é área entre curvas por integração, e precisaremos decidir a variável de integração e montar a integral apropriada.
Passo 2
No plano xy, para x variando de 0 a 1, a curva y = x^9 fica sempre abaixo da reta y = 1 (pois 0 ≤ x^9 ≤ 1). Então o esboço é uma região entre a reta horizontal y = 1 (superior) e a curva y = x^9 (inferior). Como as fronteiras verticais são x = 0 e x = 1, é mais direto integrar em relação a x.
Passo 3
A área A entre as curvas é dada por integrar, de x=0 até x=1, a diferença entre o topo e o fundo:
Para calcular A, montamos a integral
Para calcular A, montamos a integral
Passo 4
Agora calculamos passo a passo:
Passo 5
Portanto,