Teste a série quanto a convergência ou divergência.
sumn=0^infty n!2 cdot 5 cdot 8 cdot cdots cdot(3 n+2)

Passo 1

O exercício pede para testar a convergência da série sumn=0^infty n!2cdot5cdot8cdots(3n+2). Estamos no tema de séries numéricas e vamos usar o teste da razão, que compara an+1 com an. Segundo o teste da razão, se L=limntoinftyl|an+1/anr|<1, a série converge absolutamente.

Passo 2

Primeiro identificamos o termo geral an=n!2cdot5cdot8cdots(3n+2). Note que o produto do denominador pode ser escrito como prodk=0^n(3k+2).
Agora calculamos o quociente entre termos consecutivos:
an+1an =(n+1)!prodk=0^n+1(3k+2);g/;n!prodk=0^n(3k+2) =n+13n+5

Passo 3

Em seguida, avaliamos o limite desse quociente:
L=limntoinftyn+13n+5=13<1

Passo 4

Como L<1, pelo teste da razão a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge (convergência absoluta pelo teste da razão).

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