Seja f(x) uma função periódica, com período 2 T, definida como:
f(x)=ccc T-x, & para & 0 <= x <= T T+x, & para & -T <= x <= 0
Nessas condições, pede-se:
(a) Faça o esboço do gráfico de f(x) no intervalo -3 T <= x<3 T;

Passo 1

O enunciado define uma função periódica de período 2T dada por f(x)=T-x em 0<= x<= T e f(x)=T+x em -T<= x<=0. Vamos precisar entender o formato de um período de comprimento 2T e depois repeti-lo.

Passo 2

Dentro de um período canônico em [-T,T] a função forma um ‘V’ com vértice no x=0: em x=-T temos f(-T)=0, ela cresce linearmente até f(0)=T (slope +1) e depois decresce linearmente até f(T)=0 (slope –1).

Passo 3

Para cobrir o intervalo [-3T,3T) basta replicar esse ‘V’ de largura 2T em cada bloco de comprimento 2T. Os centros dos ‘V’ (picos) ficam em x=dots,-2T,0,2T,dots e os zeros em x=dots,-3T,-T,T,3T,dots.

Passo 4

No eixo x, marque os pontos -3T,-2T,-T,0,T,2T,3T. Em cada intervalo [-3T,-T], [-T,T] e [T,3T] desenhe o mesmo ‘V’ descrito: valor zero nas extremidades do intervalo, pico T no ponto médio.

Passo 5

O gráfico resultante é uma onda triangular (ou ‘sawtooth’ simétrica) de amplitude máxima T, zeros nos múltiplos ímpares de T e picos T nos múltiplos pares de T.

Passo 6

Segue o esboço qualitativo: intervalo [-3T,-T] com pico em x=-2T, intervalo [-T,T] com pico em x=0, e intervalo [T,3T] com pico em x=2T, todos formando triângulos idênticos.

Resposta

O gráfico é uma onda triangular periódica de período 2T, com vértices em $ ( (2n+1)T,0 ) $ e picos em $ (2nT,T) $. No intervalo ( (2n+1)T,0 ) aparecem três ‘V’ idênticos centrados em (2nT,T) , cada um subindo de 0 até [-3T,3T) no centro e voltando a 0 nas bordas.

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