Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a
ou
. Então calcule a área da região.
e
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas quatro curvas
,
,
e
.
Este é um problema de cálculo de área por integração.
Este é um problema de cálculo de área por integração.
Passo 2
Para este tipo de região, é mais direto usar retângulos verticais:
varia de
a
e, para cada
,
vai de
(curva de baixo) até
(reta de cima). Logo, integraremos em relação a
.
Passo 3
A área
é
Passo 4
Separemos em duas integrais:
A primeira é imediata:
Passo 5
Ficamos com
Para integrar, usamos identidades de redução de potência:
e
.
Logo,
Logo,
Passo 6
Agora integramos termo a termo em
.
-
. -
. -
- Para
, usamos com , resultando
Passo 7
Avaliamo cada parte de
a
e somamos com o fator
. O cálculo dá
Passo 8
Finalmente,