Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a x ou y. Então calcule a área da região.
y=2, y=\cos ^{4} x \operatorname{sen}^{2} x, x=0 e x=\pi / 4.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas quatro curvas \displaystyle y=2, \displaystyle y=\cos^{4}x\,\sin^{2}x, \displaystyle x=0 e \displaystyle x=\pi/4.
Este é um problema de cálculo de área por integração.

Passo 2

Para este tipo de região, é mais direto usar retângulos verticais: x varia de 0 a \pi/4 e, para cada x, y vai de y=\cos^{4}x\,\sin^{2}x (curva de baixo) até y=2 (reta de cima). Logo, integraremos em relação a x.

Passo 3

A área A é
A \;=\;\int_{x=0}^{\pi/4} \Bigl[\,2 \;-\;\cos^{4}x\,\sin^{2}x\Bigr]\,dx.

Passo 4

Separemos em duas integrais:
A =\int_{0}^{\pi/4}2\,dx \;-\;\int_{0}^{\pi/4}\cos^{4}x\,\sin^{2}x\,dx.
A primeira é imediata:
\int_{0}^{\pi/4}2\,dx =2\Bigl[\;x\Bigr]_{0}^{\pi/4} =2\cdot\frac{\pi}{4} =\frac{\pi}{2}.

Passo 5

Ficamos com
I \;=\;\int_{0}^{\pi/4}\cos^{4}x\,\sin^{2}x\,dx.
Para integrar, usamos identidades de redução de potência: \cos^{2}x=(1+\cos2x)/2 e \sin^{2}x=(1-\cos2x)/2.
Logo,
\cos^{4}x\,\sin^{2}x =\Bigl(\tfrac{1+\cos2x}{2}\Bigr)^{2} \cdot\Bigl(\tfrac{1-\cos2x}{2}\Bigr) =\frac{1+\cos2x-\cos^{2}2x-\cos^{3}2x}{8}.

Passo 6

Agora integramos termo a termo em \displaystyle I=\int_{0}^{\pi/4}\tfrac{1+\cos2x-\cos^{2}2x-\cos^{3}2x}{8}\,dx.
  1. \displaystyle \int1\,dx=x.
  2. \displaystyle \int\cos2x\,dx=\tfrac{\sin2x}{2}.
  3. \displaystyle \int\cos^{2}2x\,dx =\int\frac{1+\cos4x}{2}\,dx =\frac{x}{2}+\frac{\sin4x}{8}.
  4. Para \cos^{3}2x, usamos \cos^{3}u=(\cos3u+3\cos u)/4 com u=2x, resultando \displaystyle \int\cos^{3}2x\,dx =\sin6x/24+3\sin2x/8.

Passo 7

Avaliamo cada parte de 0 a \pi/4 e somamos com o fator 1/8. O cálculo dá
I =\frac{\pi}{64}+\frac{1}{48}.

Passo 8

Finalmente,
A =\frac{\pi}{2}-I =\frac{\pi}{2}-\Bigl(\frac{\pi}{64}+\frac{1}{48}\Bigr) =\frac{31\pi}{64}-\frac{1}{48}.

Resposta

\boxed{A=\frac{31\pi}{64}-\frac{1}{48}}

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