Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a x ou y. Então calcule a área da região. y=\cos x, y=\operatorname{sen} x, x=\pi / 2, x=6 \pi
Passo 1
O enunciado pede a área da região no plano limitada pelas curvas
y = \cos x,\quad y = \operatorname{sen} x,\quad x = \frac{\pi}{2},\quad x = 6\pi.
Este é um problema de cálculo de área por integração de funções em x. Vamos esboçar (mentalmente) os gráficos de \operatorname{sen} x e \cos x no intervalo \bigl[\tfrac{\pi}{2},6\pi\bigr], observar que elas se cruzam várias vezes e, em seguida, usar tiras verticais (integrar em x) para calcular
\text{Área} = \int_{\pi/2}^{6\pi} \bigl|\operatorname{sen} x - \cos x\bigr|\,dx.
Passo 2
Para tratar o valor absoluto, achamos onde \operatorname{sen} x = \cos x. Isso ocorre quando
\tan x = 1\quad\Longrightarrow\quad x = \frac{\pi}{4} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Dentro de \bigl[\tfrac{\pi}{2},6\pi\bigr] ficam as interseções
x = \frac{5\pi}{4},\;\frac{9\pi}{4},\;\frac{13\pi}{4},\;\frac{17\pi}{4},\;\frac{21\pi}{4}.
Entre cada par sucessivo desses pontos a função \operatorname{sen} x - \cos x troca de sinal, o que justifica dividir a integral ou usar uma identidade para eliminar o valor absoluto.
Passo 3
Usamos a identidade de soma/diferença:
\operatorname{sen} x - \cos x = \sqrt{2}\,\operatorname{sen}\Bigl(x - \frac{\pi}{4}\Bigr).
Logo
\bigl|\operatorname{sen} x - \cos x\bigr| = \sqrt{2}\,\bigl|\operatorname{sen}\bigl(x - \tfrac{\pi}{4}\bigr)\bigr|.
ou seja, 2{,}75 períodos de \operatorname{sen} u (período 2\pi). Assim podemos separar em duas integrais de um período completo mais uma de comprimento 3\pi/2: