Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a x ou y. Então calcule a área da região.
y=\cos x, y=\operatorname{sen} x, x=\pi / 2, x=6 \pi

Passo 1

O enunciado pede a área da região no plano limitada pelas curvas
y = \cos x,\quad y = \operatorname{sen} x,\quad x = \frac{\pi}{2},\quad x = 6\pi.
Este é um problema de cálculo de área por integração de funções em x. Vamos esboçar (mentalmente) os gráficos de \operatorname{sen} x e \cos x no intervalo \bigl[\tfrac{\pi}{2},6\pi\bigr], observar que elas se cruzam várias vezes e, em seguida, usar tiras verticais (integrar em x) para calcular
\text{Área} = \int_{\pi/2}^{6\pi} \bigl|\operatorname{sen} x - \cos x\bigr|\,dx.Á

Passo 2

Para tratar o valor absoluto, achamos onde \operatorname{sen} x = \cos x. Isso ocorre quando
\tan x = 1\quad\Longrightarrow\quad x = \frac{\pi}{4} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Dentro de \bigl[\tfrac{\pi}{2},6\pi\bigr] ficam as interseções
x = \frac{5\pi}{4},\;\frac{9\pi}{4},\;\frac{13\pi}{4},\;\frac{17\pi}{4},\;\frac{21\pi}{4}.
Entre cada par sucessivo desses pontos a função \operatorname{sen} x - \cos x troca de sinal, o que justifica dividir a integral ou usar uma identidade para eliminar o valor absoluto.

Passo 3

Usamos a identidade de soma/diferença:
\operatorname{sen} x - \cos x = \sqrt{2}\,\operatorname{sen}\Bigl(x - \frac{\pi}{4}\Bigr).
Logo
\bigl|\operatorname{sen} x - \cos x\bigr| = \sqrt{2}\,\bigl|\operatorname{sen}\bigl(x - \tfrac{\pi}{4}\bigr)\bigr|.
Assim
\text{Área} = \int_{\pi/2}^{6\pi} \bigl|\operatorname{sen} x - \cos x\bigr|\,dx = \sqrt{2}\,\int_{\pi/2}^{6\pi} \bigl|\operatorname{sen}\bigl(x - \tfrac{\pi}{4}\bigr)\bigr|\,dx.Á

Passo 4

Fazemos a mudança de variável
u = x - \frac{\pi}{4}, \quad du = dx,
quando x=\pi/2 temos u=\pi/4 e quando x=6\pi temos
u = 6\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{24\pi - \pi}{4} = \frac{23\pi}{4}.
Portanto
\text{Área} = \sqrt{2}\,\int_{u=\pi/4}^{\,23\pi/4}\bigl|\operatorname{sen} u\bigr|\,du.Á

Passo 5

Note que o comprimento do intervalo em u é
\frac{23\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{22\pi}{4} = \frac{11\pi}{2},
ou seja, 2{,}75 períodos de \operatorname{sen} u (período 2\pi). Assim podemos separar em duas integrais de um período completo mais uma de comprimento 3\pi/2:
\int_{\pi/4}^{23\pi/4}\bigl|\operatorname{sen} u\bigr|\,du = 2\int_{0}^{2\pi}\bigl|\operatorname{sen} u\bigr|\,du \;+\;\int_{0}^{3\pi/2}\bigl|\operatorname{sen} u\bigr|\,du.

Passo 6

Sabemos que
\int_{0}^{2\pi}\bigl|\operatorname{sen} u\bigr|\,du = 4,
e
\int_{0}^{3\pi/2}\bigl|\operatorname{sen} u\bigr|\,du = \int_{0}^{\pi}\operatorname{sen} u\,du \;+\;\int_{\pi}^{3\pi/2}(-\operatorname{sen} u)\,du = 2 \;+\; 1 = 3.
Logo
\int_{\pi/4}^{23\pi/4}\bigl|\operatorname{sen} u\bigr|\,du = 2\cdot 4 + 3 = 11.

Passo 7

Voltando à área, temos
\text{Área} = \sqrt{2}\;\times 11 = 11\sqrt{2}.Á

Resposta

A área da região é 11\sqrt{2}.

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