Encontre a área da região limitada por y=6 x^{2} e y=24 x-6 x^{2}.
Dica 1: esboce cuidadosamente a região.
Dica 2: Se pertinente, revise/leia a Seção 6.1 do Stewart (Área entre curvas) ou as suas notas de Cálculo 1, ou a Seção 5.1 (Áreas e distâncias) do Stewart.
ATENÇÃO: Insira os valores no seguinte formato decimal por exemplo 12.3456 ou 0.0654321 . e portanto escreva
  • 0.0166666 para representar " 5 / 300 "
  • ou 13.07976 para representar 2 \ln (10)+3 \pi\left(9-e^{2}\right)-3 \sqrt{5}=13.0797548283 \ldots (que pode ser obtido escrevendo (sem aspas) " 2^{*} \ln (10)+3^{*} pi*(9-exp(2))- 3^{*} sqrt(5)" diretamente no Google por exemplo)
Entre aqui o valor da área \square

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas \,y=6x^{2} e \,y=24x-6x^{2}.
Conteúdo: área entre curvas em Cálculo 1. Vamos precisar achar os pontos de interseção, determinar qual curva fica acima da outra e montar a integral da diferença entre elas.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção resolvendo
6x^{2} \;=\;24x-6x^{2}
12x^{2}-24x=0
x(x-2)=0
Logo, as curvas se intersectam em x=0 e x=2.

Passo 3

Determinar qual é a curva superior em 0\le x\le2. Defina
y_{1}=6x^{2}, \quad y_{2}=24x-6x^{2}.
Então
y_{2}-y_{1} = (24x-6x^{2}) - 6x^{2} = 24x -12x^{2} = 12x(2-x).
Em 0\le x\le2, tem-se 12x(2-x)\ge0, logo y_{2}\ge y_{1}. Portanto y_{2} é a curva superior.

Passo 4

Montar a integral da área entre as curvas de x=0 a x=2:
\text{Área} = \int_{0}^{2} \bigl[y_{2}-y_{1}\bigr]\,dx = \int_{0}^{2} \bigl[(24x-6x^{2}) - 6x^{2}\bigr]\,dx = \int_{0}^{2} (24x-12x^{2})\,dx.Á

Passo 5

Calcular a integral:
\int_{0}^{2} (24x-12x^{2})\,dx = \Bigl[12x^{2} - 4x^{3}\Bigr]_{0}^{2} = \bigl(12\cdot 2^{2} - 4\cdot 2^{3}\bigr) - 0 = (48 - 32) = 16.

Resposta

16.0000000

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