Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
Determine a área da região delimitada pelas curvas dadas.
Determine a área da região delimitada pelas curvas dadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a região delimitada pelas curvas
e
e, depois, calcular a área dessa região. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como gráficos de funções e integração para encontrar a área entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como são essas curvas. As equações
e
representam parábolas que abrem para o lado esquerdo e direito, respectivamente.
-
: Esta é uma parábola que abre para a esquerda, com vértice em (1, 0). -
: Esta é uma parábola que abre para a direita, com vértice em (-1, 0).
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas. Para isso, igualamos as duas expressões de
:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
onde as curvas se encontram.
Passo 4
Resolvendo a equação:
Então, as curvas se cruzam nos pontos onde
e
.
Passo 5
Com os valores de
encontrados, vamos determinar os valores correspondentes de
:
Para
:
Para
:
Então, os pontos de interseção são (0, 1) e (0, -1).
Passo 6
Agora, para calcular a área entre as curvas, precisamos determinar qual função está à direita e qual está à esquerda no intervalo de integração, que é de
a
.
Observando as equações:
-
é a curva que está à direita. -
é a curva que está à esquerda.
Passo 7
A fórmula para encontrar a área entre duas curvas
e
de
a
é:
Aqui,
e
, e os limites de integração são de
a
.
Passo 8
Substituindo na fórmula:
Passo 9
Vamos integrar termo a termo:
Calculando cada integral:
Passo 10
Aplicando os limites de -1 a 1:
Mas como área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas dadas é
unidades de área.