Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
Determine a área da região delimitada pelas curvas dadas.
x=1-y^2, x=y^2-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a região delimitada pelas curvas x = 1 - y^2 e x = y^2 - 1 e, depois, calcular a área dessa região. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como gráficos de funções e integração para encontrar a área entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como são essas curvas. As equações x = 1 - y^2 e x = y^2 - 1 representam parábolas que abrem para o lado esquerdo e direito, respectivamente.
  • x = 1 - y^2: Esta é uma parábola que abre para a esquerda, com vértice em (1, 0).
  • x = y^2 - 1: Esta é uma parábola que abre para a direita, com vértice em (-1, 0).

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas. Para isso, igualamos as duas expressões de x:
1 - y^2 = y^2 - 1
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de y onde as curvas se encontram.

Passo 4

Resolvendo a equação:
1 - y^2 = y^2 - 1 1 + 1 = y^2 + y^2 2 = 2y^2 y^2 = 1 y = pm 1
Então, as curvas se cruzam nos pontos onde y = 1 e y = -1.

Passo 5

Com os valores de y encontrados, vamos determinar os valores correspondentes de x:
Para y = 1:
x = 1 - (1)^2 = 1 - 1 = 0
Para y = -1:
x = 1 - (-1)^2 = 1 - 1 = 0
Então, os pontos de interseção são (0, 1) e (0, -1).

Passo 6

Agora, para calcular a área entre as curvas, precisamos determinar qual função está à direita e qual está à esquerda no intervalo de integração, que é de y = -1 a y = 1.
Observando as equações:
  • x = y^2 - 1 é a curva que está à direita.
  • x = 1 - y^2 é a curva que está à esquerda.

Passo 7

A fórmula para encontrar a área entre duas curvas x = f(y) e x = g(y) de y = a a y = b é:
Área = integrala^b [f(y) - g(y)] , dy Á
Aqui, f(y) = y^2 - 1 e g(y) = 1 - y^2, e os limites de integração são de -1 a 1.

Passo 8

Substituindo na fórmula:
Área = integral-1^1 [(y^2 - 1) - (1 - y^2)] , dy = integral-1^1 [y^2 - 1 - 1 + y^2] , dy = integral-1^1 [2y^2 - 2] , dy Á

Passo 9

Vamos integrar termo a termo:
integral-1^1 2y^2 , dy - integral-1^1 2 , dy
Calculando cada integral:
integral 2y^2 , dy = 23y^3 integral 2 , dy = 2y

Passo 10

Aplicando os limites de -1 a 1:
[ 23(1)^3 - 2(1) ] - [ 23(-1)^3 - 2(-1) ] = ( 23 - 2 ) - ( -23 + 2 ) = ( -43 ) - ( 43 ) = -83
Mas como área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
Área = 83 Á

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas dadas é 83 unidades de área.

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