(a) ( 0,5 ponto) Seja f: R^2 longrightarrow R uma função diferenciável. Mostre que o gráfico de f é uma superfície de nível da função F(x, y, z)=f(x, y)-z.
(b) ( 1,5 pontos) Use o item anterior juntamente com o fato que o gradiente de uma função em um ponto é perpendicular à superficie de nível da função que passa por esse ponto, para provar que todos os planos tangentes à superficie z=x cdot g(yx) no ponto M=(x0, y0, z0), onde x0 neq 0, passam pela origem.

Passo 1

Beleza, o exercício tem duas partes. Na (a) a gente tem uma função diferenciável f:R^2toR e precisa mostrar que o gráfico dela
(x,y,z):z=f(x,y)
é exatamente a superfície de nível zero da função
F(x,y,z)=f(x,y)-z
Na (b) a ideia é usar isso e o fato de que o gradiente de uma função em um ponto é perpendicular à sua superfície de nível, pra provar que todos os planos tangentes à superfície
z = x;g!l(tfracyxr)
no ponto M=(x0,y0,z0) (com x0neq0) passam pela origem.
Conteúdo envolvido: superfície de nível, gradiente, regra de produto/quociente, plano tangente.

Passo 2

Parte (a): Mostrar que Gr(f)=(x,y,z):z=f(x,y) é o nível zero de F(x,y,z)=f(x,y)-z.
  1. Se (x,y,z) está no gráfico, então z=f(x,y), logo
F(x,y,z)=f(x,y)-z=0
  1. Se F(x,y,z)=0, então f(x,y)-z=0, ou seja z=f(x,y), o que coloca (x,y,z) no gráfico.
    Pronto, gráfico de f = F=0.

Passo 3

Pra parte (b) usamos dois fatos:
  1. A superfície F(x,y,z)=0 tem vetor normal em cada ponto dado pelo gradiente nabla F.
  2. A equação do plano tangente a F=0 em M=(x0,y0,z0) é
nabla F(x0,y0,z0)cdotl((x,y,z)-(x0,y0,z0)r)=0

Passo 4

Agora pegamos
F(x,y,z)=x,g!l(tfracyxr)-z
Vamos partial!/partial x e partial!/partial y com regra do produto/quociente:
  • Seja t=y/x.
  • Fx = g(t) + x,g'(t)cdot(-tfracyx^2) = gl(tfrac yxr) - tfrac yx,g'l(tfrac yxr)
  • Fy = x,g'(t)cdottfrac1x = g'l(tfrac yxr)
  • Fz = -1
    No ponto M, escrevemos t0=y0/x0 e z0 = x0,g(t0). Então
nabla F(M) = l(g(t0)-t0,g'(t0),;g'(t0),;-1r)

Passo 5

A equação do plano tangente em M é
l(g(t0)-t0g'(t0)r)(x-x0);+;g'(t0)(y-y0);-;(z-z0);=;0
Pra ver que ele passa na origem, plugamos (x,y,z)=(0,0,0):
l(g(t0)-t0g'(t0)r)(-x0) +g'(t0)(-y0) -,(0-z0)=0?
Como y0=x0t0 e z0=x0g(t0), dá
-,x0g(t0)+x0t0g'(t0);-,x0t0g'(t0);+,x0g(t0)=0,
ou seja zero. Logo a origem satisfaz a equação do plano tangente, ou seja, todo plano tangente passa pela origem.

Resposta

(a) O gráfico de f é exatamente o nível zero de F(x,y,z)=f(x,y)-z.
(b) Todos os planos tangentes à superfície z=x,g(y/x) no ponto (x0,y0,z0), x0neq0, passam pela origem.

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