(a) ( 0,5 ponto) Seja
uma função diferenciável. Mostre que o gráfico de
é uma superfície de nível da função
.
(b) ( 1,5 pontos) Use o item anterior juntamente com o fato que o gradiente de uma função em um ponto é perpendicular à superficie de nível da função que passa por esse ponto, para provar que todos os planos tangentes à superficie
no ponto
, onde
, passam pela origem.
(b) ( 1,5 pontos) Use o item anterior juntamente com o fato que o gradiente de uma função em um ponto é perpendicular à superficie de nível da função que passa por esse ponto, para provar que todos os planos tangentes à superficie
Passo 1
Beleza, o exercício tem duas partes. Na (a) a gente tem uma função diferenciável
e precisa mostrar que o gráfico dela
é exatamente a superfície de nível zero da função
é exatamente a superfície de nível zero da função
Na (b) a ideia é usar isso e o fato de que o gradiente de uma função em um ponto é perpendicular à sua superfície de nível, pra provar que todos os planos tangentes à superfície
no ponto
(com
) passam pela origem.
Conteúdo envolvido: superfície de nível, gradiente, regra de produto/quociente, plano tangente.
Conteúdo envolvido: superfície de nível, gradiente, regra de produto/quociente, plano tangente.
Passo 2
Parte (a): Mostrar que
é o nível zero de
.
- Se
está no gráfico, então , logo
- Se
, então , ou seja , o que coloca no gráfico.
Pronto, gráfico de= .
Passo 3
Pra parte (b) usamos dois fatos:
- A superfície
tem vetor normal em cada ponto dado pelo gradiente . - A equação do plano tangente a
em é
Passo 4
Agora pegamos
Vamos
e
com regra do produto/quociente:
- Seja
. -
-
-
No ponto, escrevemos e . Então
Passo 5
A equação do plano tangente em
é
Pra ver que ele passa na origem, plugamos
:
Como
e
, dá
ou seja zero. Logo a origem satisfaz a equação do plano tangente, ou seja, todo plano tangente passa pela origem.
Resposta
(a) O gráfico de
é exatamente o nível zero de
.
(b) Todos os planos tangentes à superfície no ponto
,
, passam pela origem.
(b) Todos os planos tangentes à superfície