Considere a função f(x)=(x+3)^{4}(x-1).
Preencha as lacunas conforme tabela abaixo e classifique os pontos críticos em máximos locais, mínimos locais, ou pontos de inflexão de acordo com os valores encontrados:
x f(x) f^{\prime}(x)
-3.5 \square f^{\prime \prime}(x)
-3 \square \square
-2.5 \square \square
-0.3 \square \square
0.2 \square \square
0.7 \square \square

Passo 1

O enunciado nos dá
f(x) = (x+3)^{4}(x-1)
e pede para preencher, em certos valores de x, o valor de f(x) e de f'(x), além de classificar os pontos críticos de f. O conteúdo é derivação de produto e estudo de sinal de f' para identificar máximos e mínimos locais.

Passo 2

Vamos calcular f'(x) usando a regra do produto. Seja
u(x) = (x+3)^{4},\quad v(x)=x-1.
Então
u'(x) = 4(x+3)^{3},\quad v'(x)=1,
e
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x) = 4(x+3)^{3}(x-1)+(x+3)^{4}\cdot1.
Fatorando (x+3)^{3}, obtemos
f'(x) = (x+3)^{3}\bigl[4(x-1)+(x+3)\bigr] = (x+3)^{3}(5x-1).

Passo 3

Agora preenchemos a tabela calculando f(x) e f'(x) nos pontos indicados:
\displaystyle x=-3.5
f(-3.5)=(-3.5+3)^{4}\,(-3.5-1) =(-0.5)^{4}\,(-4.5) =\frac{1}{16}\cdot\bigl(-\tfrac{9}{2}\bigr) =-\frac{9}{32},
f'(-3.5)=(-0.5)^{3}\,(5\cdot(-3.5)-1) =-\tfrac18\cdot(-18.5) =\frac{37}{16}>0.
\displaystyle x=-3
f(-3) = 0^{4}\,(-4)=0, \quad f'(-3) = (0)^{3}\,(5\cdot(-3)-1)=0.
\displaystyle x=-2.5
f(-2.5)=(0.5)^{4}\,(-3.5) =\frac{1}{16}\cdot\bigl(-\tfrac{7}{2}\bigr) =-\frac{7}{32},
f'(-2.5)=(0.5)^{3}\,(5\cdot(-2.5)-1) =\tfrac18\cdot(-13.5) =-\frac{27}{16}<0.
\displaystyle x=-0.3
f(-0.3)=(2.7)^{4}\,(-1.3)\approx -69.0873,
f'(-0.3)=(2.7)^{3}\,(5\cdot(-0.3)-1) =19.683\cdot(-2.5)\approx -49.2075<0.
\displaystyle x=0.2
f(0.2)=(3.2)^{4}\,(-0.8)\approx -83.8861, \quad f'(0.2)=(3.2)^{3}\,(5\cdot0.2-1)=32.768\cdot0=0.
\displaystyle x=0.7
f(0.7)=(3.7)^{4}\,(-0.3)\approx -56.2248,
f'(0.7)=(3.7)^{3}\,(5\cdot0.7-1) =50.653\cdot2.5\approx126.6325>0.

Passo 4

Analisando o sinal de f' nos arredores dos pontos críticos:
  • Em x=-3, f' troca de positivo (em -3.5) para negativo (em -2.5), logo há um máximo local.
  • Em x=0.2, f' troca de negativo (em -0.3) para positivo (em 0.7), logo há um mínimo local.

Resposta

x f(x) f’(x)
-3.5 -\tfrac{9}{32} +\tfrac{37}{16}
-3 0 0
-2.5 -\tfrac{7}{32} -\tfrac{27}{16}
-0.3 \approx -69.0873 \approx -49.2075
0.2 \approx -83.8861 0
0.7 \approx -56.2248 \approx 126.6325
Pontos críticos:
  • x=-3: máximo local
  • x=0.2: mínimo local

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