Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
Passo 1
Neste exercício, temos as curvas
(parábola) e
(reta). Vamos usar conceitos de integração definida para calcular a área da região limitada por essas curvas. Precisaremos encontrar os pontos de interseção e integrar a diferença das funções no intervalo determinado.
Passo 2
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as expressões:
. Isso leva à equação quadrática
, cuja fatoração
dá as soluções
e
.
Passo 3
Para saber qual curva está acima na região, escolhemos um valor de teste, por exemplo
. Temos
e
, então a reta fica acima da parábola no intervalo de
a
.
Passo 4
A área
é dada pela integral da diferença entre a reta e a parábola de
a
:
Passo 5
Calculamos uma primitiva de
, que é
, e avaliamos de
a
. Substituindo, obtemos