Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
y=x^2-2 x, y=x+4

Passo 1

Neste exercício, temos as curvas y = x^2 - 2x (parábola) e y = x + 4 (reta). Vamos usar conceitos de integração definida para calcular a área da região limitada por essas curvas. Precisaremos encontrar os pontos de interseção e integrar a diferença das funções no intervalo determinado.

Passo 2

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as expressões: x^2 - 2x = x + 4. Isso leva à equação quadrática x^2 - 3x - 4 = 0, cuja fatoração (x - 4)(x + 1) = 0 dá as soluções x = 4 e x = -1.

Passo 3

Para saber qual curva está acima na região, escolhemos um valor de teste, por exemplo x = 0. Temos yparábola = 0á e yreta = 4, então a reta fica acima da parábola no intervalo de -1 a 4.

Passo 4

A área A é dada pela integral da diferença entre a reta e a parábola de -1 a 4:
A = integral-1^4 l((x+4) - (x^2 - 2x)r),dx = integral-1^4 (-x^2 + 3x + 4),dx

Passo 5

Calculamos uma primitiva de -x^2 + 3x + 4, que é -tfrac13x^3 + tfrac32x^2 + 4x, e avaliamos de -1 a 4. Substituindo, obtemos
l(-tfrac13(4)^3 + tfrac32(4)^2 + 4cdot4r) - l(-tfrac13(-1)^3 + tfrac32(-1)^2 + 4cdot(-1)r) = tfrac563 - l(-tfrac136r) = tfrac1256

Resposta

tfrac1256

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