Represente graficamente os números z1, z2, z1 z2 e z1 / z2.
z1=3+4 i, z2=(1-i) / 5 raiz2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para representarmos graficamente os números complexos $ z_1 = 3 + 4i $, $ z_2 = \frac{1 - i}{5\sqrt{2}} $, o produto $ z_1 z_2 $ e a divisão $ \frac{z_1}{z_2} $. Para isso, vamos usar o plano complexo, que é como um gráfico onde o eixo horizontal representa a parte real e o eixo vertical representa a parte imaginária dos números complexos. Vamos precisar saber como plotar pontos no plano complexo e como multiplicar e dividir números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos representar graficamente $ z_1 = 3 + 4i $. No plano complexo, colocamos o ponto na posição onde a parte real é 3 e a parte imaginária é 4. Então, no eixo horizontal (real) vamos até 3 e no eixo vertical (imaginário) até 4, marcando o ponto (3, 4).

Passo 3

Agora, vamos plotar $ z_2 = \frac{1 - i}{5\sqrt{2}} $. Primeiro, simplificamos $ z_2 $.
z2 = 1 - i5raiz2
Então, no plano complexo, a parte real é $ \frac{1}{5\sqrt{2}} $ e a parte imaginária é $ -\frac{1}{5\sqrt{2}} $. Isso fica bem próximo de zero, então o ponto estará perto da origem, ligeiramente para a direita e para baixo.

Passo 4

Agora vamos calcular o produto $ z_1 z_2 $. Para multiplicar dois números complexos, usamos a fórmula:
z1 z2
Onde $ a = 3 $, $ b = 4 $, $ c = \frac{1}{5\sqrt{2}} $, e $ d = -\frac{1}{5\sqrt{2}} $. Vamos substituir:
z1 z2 = (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
Calculando:
a = 3
Então, no gráfico, esse ponto estará em $ \left(\frac{7}{5\sqrt{2}}, \frac{1}{5\sqrt{2}}\right) $.

Passo 5

Finalmente, vamos calcular $ \frac{z_1}{z_2} $. Para dividir dois números complexos, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:
z1z2
Multiplicamos pelo conjugado de $ 1 - i $, que é $ 1 + i $:
z1z2 = 3 + 4i1 - i5raiz2 = (3 + 4i) times 5raiz21 - i
Agora, multiplicamos:
1 - i
Lembrando que $ i^2 = -1 $:
1 + i
Então:
z1z2 = (3 + 4i) times 5raiz2(1 + i)(1 - i)(1 + i) = (3 + 4i) times 5raiz2(1 + i)1 + 1 = (3 + 4i) times 5raiz2(1 + i)2
Esse ponto no gráfico fica em $ \left(-\frac{5\sqrt{2}}{2}, \frac{35\sqrt{2}}{2}\right) $.

Resposta

Representamos graficamente os números $ z_1 = 3 + 4i $, $ z_2 = \frac{1 - i}{5\sqrt{2}} $, $ z_1 z_2 = \frac{7}{5\sqrt{2}} + \frac{1}{5\sqrt{2}}i $ e $ \frac{z_1}{z_2} = -\frac{5\sqrt{2}}{2} + \frac{35\sqrt{2}}{2}i $ no plano complexo conforme explicado nos passos acima.

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