Represente graficamente os números
e
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para representarmos graficamente os números complexos $ z_1 = 3 + 4i $, $ z_2 = \frac{1 - i}{5\sqrt{2}} $, o produto $ z_1 z_2 $ e a divisão $ \frac{z_1}{z_2} $. Para isso, vamos usar o plano complexo, que é como um gráfico onde o eixo horizontal representa a parte real e o eixo vertical representa a parte imaginária dos números complexos. Vamos precisar saber como plotar pontos no plano complexo e como multiplicar e dividir números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos representar graficamente $ z_1 = 3 + 4i $. No plano complexo, colocamos o ponto na posição onde a parte real é 3 e a parte imaginária é 4. Então, no eixo horizontal (real) vamos até 3 e no eixo vertical (imaginário) até 4, marcando o ponto (3, 4).
Passo 3
Agora, vamos plotar $ z_2 = \frac{1 - i}{5\sqrt{2}} $. Primeiro, simplificamos $ z_2 $.
Então, no plano complexo, a parte real é $ \frac{1}{5\sqrt{2}} $ e a parte imaginária é $ -\frac{1}{5\sqrt{2}} $. Isso fica bem próximo de zero, então o ponto estará perto da origem, ligeiramente para a direita e para baixo.
Passo 4
Agora vamos calcular o produto $ z_1 z_2 $. Para multiplicar dois números complexos, usamos a fórmula:
Onde $ a = 3 $, $ b = 4 $, $ c = \frac{1}{5\sqrt{2}} $, e $ d = -\frac{1}{5\sqrt{2}} $. Vamos substituir:
Calculando:
Então, no gráfico, esse ponto estará em $ \left(\frac{7}{5\sqrt{2}}, \frac{1}{5\sqrt{2}}\right) $.
Passo 5
Finalmente, vamos calcular $ \frac{z_1}{z_2} $. Para dividir dois números complexos, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:
Multiplicamos pelo conjugado de $ 1 - i $, que é $ 1 + i $:
Agora, multiplicamos:
Lembrando que $ i^2 = -1 $:
Então:
Esse ponto no gráfico fica em $ \left(-\frac{5\sqrt{2}}{2}, \frac{35\sqrt{2}}{2}\right) $.
Resposta
Representamos graficamente os números $ z_1 = 3 + 4i $, $ z_2 = \frac{1 - i}{5\sqrt{2}} $, $ z_1 z_2 = \frac{7}{5\sqrt{2}} + \frac{1}{5\sqrt{2}}i $ e $ \frac{z_1}{z_2} = -\frac{5\sqrt{2}}{2} + \frac{35\sqrt{2}}{2}i $ no plano complexo conforme explicado nos passos acima.