Mostre que (x+y i)^2(x-y i)^2=(x^2+y^2)^2, usando as propriedades do módulo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que (x + y i)^2 (x - y i)^2 = (x^2 + y^2)^2 usando as propriedades do módulo. Aqui, estamos lidando com números complexos e as propriedades do módulo, que é como a “distância” desse número até a origem no plano complexo. Para resolver isso, vamos expandir as expressões e usar as regras de multiplicação de números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular (x + y i)^2. Para isso, vamos usar a fórmula do quadrado de um binômio:
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
Aplicando isso:
(x + y i)^2 = x^2 + 2x(y i) + (y i)^2 = x^2 + 2x y i + y^2 i^2
Sabemos que i^2 = -1, então:
x^2 + 2x y i + y^2 (-1) = x^2 + 2x y i - y^2
Então, (x + y i)^2 = x^2 - y^2 + 2x y i.

Passo 3

Agora, vamos calcular (x - y i)^2 usando a mesma abordagem:
(x - y i)^2 = x^2 - 2x y i + y^2 i^2 = x^2 - 2x y i - y^2
Então, (x - y i)^2 = x^2 - y^2 - 2x y i.

Passo 4

Agora, vamos multiplicar (x + y i)^2 por (x - y i)^2:
(x^2 - y^2 + 2x y i)(x^2 - y^2 - 2x y i)
Isso se parece com a multiplicação de (a + b)(a - b) = a^2 - b^2. Aqui, a = x^2 - y^2 e b = 2x y i. Então:
(x^2 - y^2)^2 - (2x y i)^2

Passo 5

Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro:
(x^2 - y^2)^2 = x^4 - 2x^2 y^2 + y^4
E depois:
(2x y i)^2 = 4x^2 y^2 i^2 = 4x^2 y^2 (-1) = -4x^2 y^2
Então, colocando tudo junto:
x^4 - 2x^2 y^2 + y^4 - (-4x^2 y^2) = x^4 - 2x^2 y^2 + y^4 + 4x^2 y^2 = x^4 + 2x^2 y^2 + y^4

Passo 6

Agora, vamos olhar para (x^2 + y^2)^2:
(x^2 + y^2)^2 = x^4 + 2x^2 y^2 + y^4

Passo 7

Comparando os dois resultados:
(x + y i)^2 (x - y i)^2 = x^4 + 2x^2 y^2 + y^4 = (x^2 + y^2)^2

Resposta

Portanto, mostramos que (x + y i)^2 (x - y i)^2 = (x^2 + y^2)^2 utilizando as propriedades do módulo.

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