Esboce a região delimitada pelas curvas
e calcule sua área.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região que é delimitada pelas curvas $ x = y^{2} - 1 $ e $ x = y + 1 $ e depois calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica e cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde essas duas curvas se encontram. Isso vai nos dar os limites para calcular a área. Para achar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Vamos resolver essa equação quadrática.
Passo 3
Subtraindo $ y + 1 $ de ambos os lados, temos:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática. Podemos tentar fatorar:
Então, as soluções são:
Passo 4
Com os valores de $ y $, vamos encontrar os correspondentes valores de $ x $:
Para $ y = 2 $:
Para $ y = -1 $:
Então, os pontos de interseção são $ (3, 2) $ e $ (0, -1) $.
Passo 5
Agora, vamos analisar qual curva está à direita da outra entre $ y = -1 $ e $ y = 2 $. Observando as equações:
- $ x = y^{2} - 1 $ é uma parábola que se abre para a direita.
- $ x = y + 1 $ é uma reta inclinada.
Para valores de $ y $ entre -1 e 2, a reta $ x = y + 1 $ está à direita da parábola $ x = y^{2} - 1 $.
Passo 6
Para calcular a área entre as duas curvas, usamos a fórmula da integral:
Aqui, $ a = -1 $ e $ b = 2 $. A função de cima é $ x = y + 1 $ e a de baixo é $ x = y^{2} - 1 $.
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos calcular a integral:
Vamos avaliar essa expressão de $ y = -1 $ a $ y = 2 $:
Para $ y = 2 $:
Para $ y = -1 $:
Passo 9
Agora, subtraímos o valor em $ y = -1 $ do valor em $ y = 2 $:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas $ x = y^{2} - 1 $ e $ x = y + 1 $ é $ \frac{9}{2} $ unidades de área.