Esboce a região delimitada pelas curvas x=y^2-1, x=y+1 e calcule sua área.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região que é delimitada pelas curvas $ x = y^{2} - 1 $ e $ x = y + 1 $ e depois calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica e cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde essas duas curvas se encontram. Isso vai nos dar os limites para calcular a área. Para achar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
y^2 - 1 = y + 1
Vamos resolver essa equação quadrática.

Passo 3

Subtraindo $ y + 1 $ de ambos os lados, temos:
y + 1
Agora, vamos resolver essa equação quadrática. Podemos tentar fatorar:
y^2 - y - 2 = 0
Então, as soluções são:
(y - 2)(y + 1) = 0

Passo 4

Com os valores de $ y $, vamos encontrar os correspondentes valores de $ x $:
Para $ y = 2 $:
y
Para $ y = -1 $:
x
Então, os pontos de interseção são $ (3, 2) $ e $ (0, -1) $.

Passo 5

Agora, vamos analisar qual curva está à direita da outra entre $ y = -1 $ e $ y = 2 $. Observando as equações:
  • $ x = y^{2} - 1 $ é uma parábola que se abre para a direita.
  • $ x = y + 1 $ é uma reta inclinada.
Para valores de $ y $ entre -1 e 2, a reta $ x = y + 1 $ está à direita da parábola $ x = y^{2} - 1 $.

Passo 6

Para calcular a área entre as duas curvas, usamos a fórmula da integral:
Área = integrala^b (Função de cima - Função de baixo) , dy Áçãçã
Aqui, $ a = -1 $ e $ b = 2 $. A função de cima é $ x = y + 1 $ e a de baixo é $ x = y^{2} - 1 $.
Então, a integral fica:
a = -1 Á

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(y + 1) - (y^2 - 1) = -y^2 + y + 2
Então, a integral fica:
Área = integral-1^2 (-y^2 + y + 2) , dy Á

Passo 8

Agora, vamos calcular a integral:
integral (-y^2 + y + 2) , dy = -y^33 + y^22 + 2y
Vamos avaliar essa expressão de $ y = -1 $ a $ y = 2 $:
Para $ y = 2 $:
y = -1
Para $ y = -1 $:
y = 2

Passo 9

Agora, subtraímos o valor em $ y = -1 $ do valor em $ y = 2 $:
y = -1

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas $ x = y^{2} - 1 $ e $ x = y + 1 $ é $ \frac{9}{2} $ unidades de área.

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