Exercício 1. Calcule as integrais iteradas.

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício de integrais iteradas! A gente tem para calcular a integral dupla $ \int_{0}^{1} \int_{1}{2}\left(x+e{-y}\right) dx , dy $. Esse tipo de integral faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente de integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar integrar primeiro em relação a $ x $ e depois em relação a $ y $.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é $ \int_{1}^{2} \left(x + e^{-y}\right) dx $. Aqui, $ y $ está constante porque estamos integrando em relação a $ x $. A gente pode separar a integral em duas partes:
integral1^2 (x + e^-y) dx
A primeira parte $ \int x , dx $ é bem direta. A segunda parte $ \int e^{-y} , dx $ é interessante porque $ e^{-y} $ não depende de $ x $, então ela funciona como uma constante nessa integração.

Passo 3

Vamos calcular cada parte:
  1. Para $ \int x , dx $:
integral x , dx
  1. Para $ \int e^{-y} , dx $:
integral x , dx = x^22
Agora, aplicamos os limites de 1 a 2 em cada antiderivada:
  1. $ \frac{x^2}{2} $ de 1 a 2:
integral e^-y , dx
  1. $ e^{-y} \cdot x $ de 1 a 2:
integral e^-y , dx = e^-y cdot x
Então, a integral interna resulta em:
x^22

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado da integral interna em relação a $ y $:
y
Assim como antes, podemos separar essa integral:
integral0^1 (1,5 + e^-y) dy
  1. Para $ \int 1,5 , dy $:
integral0^1 1,5 , dy + integral0^1 e^-y , dy
  1. Para $ \int e^{-y} , dy $:
integral 1,5 , dy
Agora, aplicamos os limites de 0 a 1 em cada antiderivada:
  1. $ 1,5y $ de 0 a 1:
1,5y
  1. $ - e^{-y} $ de 0 a 1:
integral e^-y , dy
Então, a integral externa resulta em:
- e^-y

Resposta

A integral dupla vale $ 2,5 - \dfrac{1}{e} $.

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