Calcule:
(a) integral sen raizx d x
(b) integral0^raiz2 / 2 x^2raiz1-x^2 d x

Passo 1

Vamos resolver dois integrais aqui. O primeiro é integral sen raizx , dx e o segundo é integral0^raiz2/2 x^2raiz1-x^2 , dx. Para resolver esses integrais, vamos usar técnicas de substituição e integração por partes. Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar com o primeiro integral: integral sen raizx , dx. Aqui, temos uma função composta, então vamos usar a substituição para simplificar.

Passo 3

Escolhemos uma substituição que simplifique a integral. Vamos definir:
u = raizx Rightarrow x = u^2
Então, derivando ambos os lados:
dx = 2u , du

Passo 4

Agora, substituímos na integral original:
integral sen raizx , dx = integral sen u cdot 2u , du = 2 integral u cdot sen u , du

Passo 5

Para resolver integral u cdot sen u , du, vamos usar a integração por partes, que é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, escolhemos:
v = sen u Rightarrow dv = sen u , du du = u , du Rightarrow u = u
Na verdade, é mais fácil escolher:
f = u Rightarrow df = du dg = sen u , du Rightarrow g = -cos u

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u cdot sen u , du = -u cdot cos u + integral cos u , du = -u cdot cos u + sen u + C

Passo 7

Voltando à nossa substituição original:
2 integral u cdot sen u , du = 2(-u cdot cos u + sen u) + C = -2u cdot cos u + 2 sen u + C
Substituindo u = raizx:
-2raizx cdot cos raizx + 2 sen raizx + C

Passo 8

Agora, vamos para o segundo integral: integral0^raiz2/2 x^2raiz1-x^2 , dx. Aqui, também vamos usar a substituição para simplificar.

Passo 9

Vamos definir:
u = 1 - x^2 Rightarrow du = -2x , dx Rightarrow -du2 = x , dx
Mas temos x^2 , dx, então precisamos adaptar a substituição.

Passo 10

Rearranjando, temos:
x^2 = 1 - u Rightarrow x^2 = 1 - u
E já sabemos que x , dx = -du2, então:
x^2 , dx = (1 - u) cdot (-du2) = -1 - u2 , du

Passo 11

Substituindo na integral:
integral x^2raiz1 - x^2 , dx = -12 integral 1 - uraizu , du = -12 integral ( u^-1/2 - u^1/2 ) , du

Passo 12

Integrando termo a termo:
-12 ( integral u^-1/2 , du - integral u^1/2 , du ) = -12 ( 2u^1/2 - 23u^3/2 ) + C = -u^1/2 + 13u^3/2 + C

Passo 13

Voltando à substituição u = 1 - x^2:
-raiz1 - x^2 + 13(1 - x^2)^3/2 + C
Calculando os limites de integração de 0 a raiz22:
Quando x = 0:
-raiz1 - 0 + 13(1 - 0)^3/2 = -1 + 13 = -23
Quando x = raiz22:
-raiz1 - (raiz22)^2 + 13(1 - (raiz22)^2)^3/2 = -raiz1 - 12 + 13(1 - 12)^3/2 = -raiz22 + 13(12)^3/2 = -raiz22 + 13 cdot raiz22 = -raiz22 + raiz26 = -raiz23

Resposta

(a) A integral integral sen raizx , dx é igual a -2raizx cdot cos raizx + 2 sen raizx + C.
(b) A integral definida integral0^raiz2/2 x^2raiz1-x^2 , dx é igual a -raiz23.

Exercícios relacionados