Encontre o limite.
lim x (pi / 2)^-(sec (x)-tg(x))

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto(pi/2)^-l(sec(x)-tan(x)r). É um problema de limites envolvendo funções trigonométricas, onde vamos usar identidades para simplificar a expressão antes de avaliar o limite.

Passo 2

Primeiro, reunimos sec(x) e tan(x) em um único quociente:
[
\sec(x)-\tan(x)=\frac{1}{\cos(x)}-\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=\frac{1-\sin(x)}{\cos(x)}.
]

Passo 3

Agora aplicamos a técnica de multiplicar numerador e denominador pelo conjugado de (1-sin(x)), que é (1+sin(x)):
[
\frac{1-\sin(x)}{\cos(x)}\cdot\frac{1+\sin(x)}{1+\sin(x)}=\frac{1-\sin2(x)}{\cos(x),(1+\sin(x))}=\frac{\cos2(x)}{\cos(x),(1+\sin(x))}=\frac{\cos(x)}{1+\sin(x)}.
]

Passo 4

Com a expressão simplificada para cos(x)1+sin(x), avaliamos o limite quando xto(pi/2)^-: como cos(x)to0^+ e sin(x)to1^-, o numerador vai a zero e o denominador a 1+1=2. Portanto o limite é zero.

Resposta

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