Encontre o limite.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
. É um problema de limites envolvendo funções trigonométricas, onde vamos usar identidades para simplificar a expressão antes de avaliar o limite.
Passo 2
Primeiro, reunimos
e
em um único quociente:
[
\sec(x)-\tan(x)=\frac{1}{\cos(x)}-\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=\frac{1-\sin(x)}{\cos(x)}.
]
[
\sec(x)-\tan(x)=\frac{1}{\cos(x)}-\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=\frac{1-\sin(x)}{\cos(x)}.
]
Passo 3
Agora aplicamos a técnica de multiplicar numerador e denominador pelo conjugado de
, que é
:
[
\frac{1-\sin(x)}{\cos(x)}\cdot\frac{1+\sin(x)}{1+\sin(x)}=\frac{1-\sin2(x)}{\cos(x),(1+\sin(x))}=\frac{\cos2(x)}{\cos(x),(1+\sin(x))}=\frac{\cos(x)}{1+\sin(x)}.
]
[
\frac{1-\sin(x)}{\cos(x)}\cdot\frac{1+\sin(x)}{1+\sin(x)}=\frac{1-\sin2(x)}{\cos(x),(1+\sin(x))}=\frac{\cos2(x)}{\cos(x),(1+\sin(x))}=\frac{\cos(x)}{1+\sin(x)}.
]
Passo 4
Com a expressão simplificada para
, avaliamos o limite quando
: como
e
, o numerador vai a zero e o denominador a
. Portanto o limite é zero.
Resposta
0