Prove que, para todo
, tem-se
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que, para quaisquer conjuntos
e
em
, a parte interna da interseção de
e
é igual à interseção das partes internas de
e
. Ou seja, queremos mostrar que:
Para isso, vamos precisar entender o que é a parte interna de um conjunto e como funcionam as interseções de conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a parte interna de um conjunto. A parte interna de um conjunto
, denotada por
, é o maior conjunto aberto que está contido em
. Em termos simples, são todos os pontos de
que estão “no meio” de
, sem estar na borda.
Passo 3
Agora, vamos considerar a interseção de
e
, ou seja,
. Esse conjunto contém todos os elementos que estão tanto em
quanto em
. Nossa meta é descobrir qual é a parte interna desse conjunto e compará-la com a interseção das partes internas de
e
.
Passo 4
Vamos provar a igualdade em duas etapas: primeiro, mostrar que
, e depois que
.
Passo 5
Parte 1: Mostraremos que
.
Se um ponto está na parte interna de
, isso significa que existe um intervalo ao redor desse ponto que está completamente dentro de
. Como esse intervalo está em
, ele está tanto em
quanto em
. Portanto, o ponto também está na parte interna de
e na parte interna de
. Assim, ele está na interseção
.
Passo 6
Parte 2: Agora, vamos mostrar que
.
Se um ponto está na interseção
, isso significa que existe um intervalo ao redor desse ponto que está completamente dentro de
e outro intervalo (possivelmente menor) que está completamente dentro de
. A interseção desses dois intervalos ainda é um intervalo aberto que está completamente dentro de
. Portanto, o ponto está na parte interna de
.
Resposta
Assim, mostramos que
.