Prove que, para todo X, Y subset R, tem-se int(X cap Y)=int X cap int Y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que, para quaisquer conjuntos X e Y em R , a parte interna da interseção de X e Y é igual à interseção das partes internas de X e Y . Ou seja, queremos mostrar que:
int(X cap Y) = int X cap int Y
Para isso, vamos precisar entender o que é a parte interna de um conjunto e como funcionam as interseções de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a parte interna de um conjunto. A parte interna de um conjunto A , denotada por int A , é o maior conjunto aberto que está contido em A . Em termos simples, são todos os pontos de A que estão “no meio” de A , sem estar na borda.

Passo 3

Agora, vamos considerar a interseção de X e Y , ou seja, X cap Y . Esse conjunto contém todos os elementos que estão tanto em X quanto em Y . Nossa meta é descobrir qual é a parte interna desse conjunto e compará-la com a interseção das partes internas de X e Y .

Passo 4

Vamos provar a igualdade em duas etapas: primeiro, mostrar que int(X cap Y) subseteq int X cap int Y , e depois que int X cap int Y subseteq int(X cap Y) .

Passo 5

Parte 1: Mostraremos que int(X cap Y) subseteq int X cap int Y .
Se um ponto está na parte interna de X cap Y , isso significa que existe um intervalo ao redor desse ponto que está completamente dentro de X cap Y . Como esse intervalo está em X cap Y , ele está tanto em X quanto em Y . Portanto, o ponto também está na parte interna de X e na parte interna de Y . Assim, ele está na interseção int X cap int Y .

Passo 6

Parte 2: Agora, vamos mostrar que int X cap int Y subseteq int(X cap Y) .
Se um ponto está na interseção int X cap int Y , isso significa que existe um intervalo ao redor desse ponto que está completamente dentro de X e outro intervalo (possivelmente menor) que está completamente dentro de Y . A interseção desses dois intervalos ainda é um intervalo aberto que está completamente dentro de X cap Y . Portanto, o ponto está na parte interna de X cap Y .

Resposta

Assim, mostramos que int(X cap Y) = int X cap int Y .

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