Esboçe a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.
y=e^{-x} ; y=x+1 e x=-1

Passo 1

O enunciado pede esboçar a região limitada pelas curvas
y = e^{-x},
y = x + 1
e pela reta vertical
x = -1,
e calcular sua área. O conteúdo aqui é cálculo de área por integração entre funções.

Passo 2

Para encontrar o ponto de interseção de
y = e^{-x}
e
y = x + 1
resolvemos
e^{-x} = x + 1.
Verifica-se facilmente que x=0 é a única solução, pois
e^{0} = 1 = 0 + 1.

Passo 3

A região está entre x=-1 e x=0. Para saber qual curva fica em cima num x qualquer entre -1 e 0, por exemplo x=-\tfrac12:
e^{-(-1/2)} = e^{1/2}\approx1{,}65, \quad (-\tfrac12)+1 = \tfrac12.
Logo e^{-x} > x+1 em todo o intervalo [-1,0]. Assim a área é
\int_{x=-1}^{0}\bigl[e^{-x} - (x+1)\bigr]\,dx.

Passo 4

Calculemos cada parte:
\int e^{-x}\,dx = -\,e^{-x},
\int (x+1)\,dx = \frac{x^{2}}{2} + x.
Portanto
\int_{-1}^{0}\bigl[e^{-x} - (x+1)\bigr]\,dx = \Bigl[-\,e^{-x} - \Bigl(\frac{x^{2}}{2} + x\Bigr)\Bigr]_{x=-1}^{x=0}.

Passo 5

Avaliação nos limites:
em x=0:
-\,e^{0} - \bigl(0 + 0\bigr) = -1,
em x=-1:
-\,e^{-(-1)} - \Bigl(\tfrac{(-1)^{2}}{2} + (-1)\Bigr) = -\,e^{1} - \bigl(\tfrac12 -1\bigr) = -\,e + \tfrac12.
Subtraindo:
(-1) -\bigl(-\,e + \tfrac12\bigr) = -1 + e - \tfrac12 = e - \tfrac32.

Resposta

A área da região é
e - \tfrac32.

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