O preço de uma certa açāo na bolsa de valores, em funçāo do tempo t decorrido após sua compra por um investidor, ê dado por:
P(t)=160 t(4+t)^2+1 (em anos e P(t) em reais)
O investidor deve esperar no mínimo 2 anos e no máximo 5 anos. Dê a melhor ocasiāo para venda.

Passo 1

O enunciado dá o preço de uma ação como função do tempo: P(t)=160,t(4+t)^2+1 para 2<= t<=5. Queremos encontrar o instante em que P(t) é máximo. O conteúdo usado é cálculo de extremos de função em intervalo fechado, aplicando derivadas para achar pontos críticos e comparando com os extremos do intervalo.

Passo 2

Para achar os pontos onde P(t) pode ter máximo ou mínimo, calculamos a derivada. É mais fácil reescrever P(t) como 160,t,(4+t)^-2+1 e usar a regra do produto:
P'(t)=160,(4+t)^-2+160,t,(-2),(4+t)^-3
Agrupando em um mesmo denominador:
P'(t)=160(4+t)-320t(4+t)^3=640-160t(4+t)^3

Passo 3

Os pontos críticos vêm de P'(t)=0, ou seja, numerador zero. Resolvendo:
640-160t=0implies t=4
Como 4 está no intervalo [2,5], é candidato a máximo.

Passo 4

Precisamos comparar P(2), P(4) e P(5):
Para t=2:
P(2)=160cdot2(4+2)^2+1=32036+1=899approx9,89
Para t=4:
P(4)=160cdot4(4+4)^2+1=64064+1=11
Para t=5:
P(5)=160cdot5(4+5)^2+1=80081+1=88181approx10,88
Desses, P(4)=11 é o maior valor.

Passo 5

Portanto, a melhor ocasião para venda é quando o tempo t=4 anos após a compra, pois aí o preço atinge o valor máximo de R$ 11.

Resposta

A melhor ocasião para venda é aos 4 anos, quando o preço atinge R$ 11.

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