Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se
é uma função contínua arbitrária, expresse
como uma integral iterada. Após, inverta a ordem de integração:
.
Passo 1
A gente tem a região R delimitada pelos gráficos das curvas
e
. O conteúdo aqui é integrais duplas e troca de ordem de integração de uma integral iterada. Para resolver, a gente vai: esboçar R, achar os pontos de interseção, montar a integral dupla em ordem
e depois inverter pra ordem
.
Passo 2
Primeiro, igualamos
e
para encontrar onde elas se cruzam:
Isso dá
ou
. Como ambas as curvas estão definidas para
, R fica entre
e
.
Passo 3
Para cada
em
,
vai da curva inferior
até a curva superior
. Logo
Passo 4
Agora a gente inverte a ordem: primeiro notamos que, no domínio R,
varia de 0 até 1 (os mesmos valores de
nos pontos de interseção). Para um
fixo em
, a região exige
Então, invertendo a ordem de integração, obtemos