Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se f(x, y) é uma função contínua arbitrária, expresse integral duplaR f(x, y) d x d y como uma integral iterada. Após, inverta a ordem de integração:
y=raizx, y=x^3.

Passo 1

A gente tem a região R delimitada pelos gráficos das curvas y=raizx e y=x^3. O conteúdo aqui é integrais duplas e troca de ordem de integração de uma integral iterada. Para resolver, a gente vai: esboçar R, achar os pontos de interseção, montar a integral dupla em ordem dx,dy e depois inverter pra ordem dy,dx.

Passo 2

Primeiro, igualamos y=raizx e y=x^3 para encontrar onde elas se cruzam:
x^3 = raizx implies x^3 - x^1/2 = 0 implies x^1/2(x^5/2-1)=0
Isso dá x=0 ou x=1. Como ambas as curvas estão definidas para x>=0, R fica entre x=0 e x=1.

Passo 3

Para cada x em [0,1], y vai da curva inferior y=x^3 até a curva superior y=raizx. Logo
integral duplaR f(x,y),dx,dy = integralx=0^1gl(integraly=x^3^raizx f(x,y),dygr)dx

Passo 4

Agora a gente inverte a ordem: primeiro notamos que, no domínio R, y varia de 0 até 1 (os mesmos valores de y nos pontos de interseção). Para um y fixo em [0,1], a região exige
x^3 <= y <= raizx Longrightarrow x <= y^1/3e x >= y^2
Então, invertendo a ordem de integração, obtemos
integral duplaR f(x,y),dx,dy = integraly=0^1gl(integralx=y^2^y^1/3 f(x,y),dxgr)dy

Resposta

integral duplaR f(x,y),dx,dy = integraly=0^1 gl(integralx=y^2^y^1/3 f(x,y),dxgr)dy

Exercícios relacionados