Esboce a região
delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se
é uma função contínua arbitrária em
, expresse \iint_{R} f(x, y) d A) como soma de duas integrais iteradas do tipo usado em (a) Teorema (17.8)(i) e (b) Teorema (17.8)(ii).
x=2 \sqrt{y}, \sqrt{3} x=\sqrt{y}, y=2 x+5
x=2 \sqrt{y}, \sqrt{3} x=\sqrt{y}, y=2 x+5
Passo 1
O enunciado dá três curvas que delimitam a região
:
-
, -
, -
.
O que se pede:
- Esboçar (descrever) a região
delimitada por essas curvas. - Expressar
, onde é contínua em , como soma de duas integrais iteradas do tipo usado em (a) Teorema (17.8)(i) (ou seja, integrais do tipo ) e (b) Teorema (17.8)(ii) (ou seja, integrais do tipo ).
Informações relevantes dadas (apenas as curvas e que
é contínua):
- As duas primeiras curvas envolvem raízes quadradas; ao manipular é preciso lembrar da condição
, o que impõe nas fórmulas escritas como . - Vamos precisar encontrar os pontos de interseção das curvas para determinar limites de integração.
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção entre cada par de curvas (mostrando contas).
- Interseção entre
e .
Expressar ambas como
em função de
. Da primeira,
com
.
Da segunda,
com
.
Igualando
:
portanto
. Assim, o único ponto de interseção válido (com
) é
- Interseção entre
(segunda forma de ) e .
Resolver
. Multiplicando por
:
Discriminante
,
. Assim
Mas como na curva original
temos
, descartamos
. Logo a interseção relevante é em
Ponto:
.
- Interseção entre
(segunda forma de ) e .
Resolver
:
Discriminante
,
. Assim
Como as curvas com raiz exigem
, tomamos
. O correspondente
Ponto:
.
Resumindo os pontos de interseção relevantes (todos com
):
-
entre as duas curvas com raiz; -
entre e ; -
entre e .
Passo 3
Descrever a topologia/ordenação das curvas e esboçar mentalmente a região
.
-
Para
, as curvas e foram reescritas como as parábolas ePara qualquertem . -
A reta
intersecta em e intersecta em . Em a reta tem , bem acima das parábolas (que valem em ). -
Então a região fechada
é formada pelo caminho fechado que vai de subindo pela parábola até , segue pela reta até , e retorna à origem pela parábola . Visualmente é uma “fatia” limitada à direita pela parábola , à esquerda por até a altura , e acima pela reta a partir de até . -
Para montar integrais com a ordem
(tipo I), observe que a divisão natural ocorre em -intervalos: de até a região verticalmente vai entre as duas parábolas; de até a região verticalmente vai entre a parábola (embaixo) e a reta (embaixo/embaixo? corrigindo: a reta está acima da parábola nessa faixa), portanto entre e .
Passo 4
Montar a expressão do tipo usado em (a) Teorema (17.8)(i) — integrais com
interno (integração vertical), como soma de duas integrais.
Pela análise do Passo 3, dividir em dois blocos em
:
- Para
: as curvas inferior e superior são
Logo a contribuição é
- Para
: a parte inferior é e a superior é a reta . Logo a contribuição é
Somando as duas, obtemos a representação vertical (tipo I):
Passo 5
Montar a expressão do tipo usado em (b) Teorema (17.8)(ii) — integrais com
interno (integração horizontal), como soma de duas integrais.
Para isso convém reescrever as curvas como
em função de
(ramos com
):
- De
temos . - De
temos . - Da reta
obtemos .
Analisar as alturas
relevantes: a região vai de
até
. A reta encontra a parábola
em
e encontra a outra parábola em
. Assim convém dividir em dois blocos em
:
- Para
: a interseção horizontal corta as duas parábolas; o menor é dado por e o maior por . Então
- Para
: a curva da esquerda agora é a reta (pois a partir de a fronteira esquerda do domínio passa a ser a reta) e a fronteira direita continua sendo . Então
Somando, obtemos a representação horizontal (tipo II):
Resposta
(a)
(b)