Esboce a região R delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se f é uma função contínua arbitrária em R, expresse \iint_{R} f(x, y) d A) como soma de duas integrais iteradas do tipo usado em (a) Teorema (17.8)(i) e (b) Teorema (17.8)(ii).
x=2 \sqrt{y}, \sqrt{3} x=\sqrt{y}, y=2 x+5

Passo 1

O enunciado dá três curvas que delimitam a região R:
  • x = 2\sqrt{y},
  • \sqrt{3}\,x = \sqrt{y},
  • y = 2x + 5.
O que se pede:
  • Esboçar (descrever) a região R delimitada por essas curvas.
  • Expressar \displaystyle \iint_{R} f(x,y)\,dA, onde f é contínua em R, como soma de duas integrais iteradas do tipo usado em (a) Teorema (17.8)(i) (ou seja, integrais do tipo \int_{x=a}^{b}\int_{y=g_1(x)}^{g_2(x)}\cdots dy\,dx) e (b) Teorema (17.8)(ii) (ou seja, integrais do tipo \int_{y=c}^{d}\int_{x=h_1(y)}^{h_2(y)}\cdots dx\,dy).
Informações relevantes dadas (apenas as curvas e que f é contínua):
  • As duas primeiras curvas envolvem raízes quadradas; ao manipular é preciso lembrar da condição \sqrt{y}\ge 0, o que impõe x\ge 0 nas fórmulas escritas como x=\cdots.
  • Vamos precisar encontrar os pontos de interseção das curvas para determinar limites de integração.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção entre cada par de curvas (mostrando contas).
  1. Interseção entre x = 2\sqrt{y} e \sqrt{3}\,x = \sqrt{y}.
Expressar ambas como y em função de x. Da primeira,
x = 2\sqrt{y}\quad\Rightarrow\quad \sqrt{y}=\frac{x}{2}\quad\Rightarrow\quad y=\frac{x^{2}}{4},
com x\ge 0.
Da segunda,
\sqrt{3}\,x = \sqrt{y}\quad\Rightarrow\quad \sqrt{y}=\sqrt{3}\,x\quad\Rightarrow\quad y=3x^{2},
com x\ge 0.
Igualando y:
\frac{x^{2}}{4}=3x^{2}\quad\Rightarrow\quad x^{2}\Big(\frac{1}{4}-3\Big)=0\quad\Rightarrow\quad x^{2}\cdot\Big(-\frac{11}{4}\Big)=0,
portanto x=0. Assim, o único ponto de interseção válido (com x\ge0) é
(x,y)=(0,0).
  1. Interseção entre y=\dfrac{x^{2}}{4} (segunda forma de x=2\sqrt{y}) e y=2x+5.
Resolver \dfrac{x^{2}}{4}=2x+5. Multiplicando por 4:
x^{2}=8x+20\quad\Rightarrow\quad x^{2}-8x-20=0.
Discriminante \Delta=(-8)^{2}-4\cdot1\cdot(-20)=64+80=144, \sqrt{\Delta}=12. Assim
x=\frac{8\pm12}{2}\Rightarrow x=10\quad\text{ou}\quad x=-2.
Mas como na curva original x=2\sqrt{y} temos x\ge0, descartamos x=-2. Logo a interseção relevante é em
x=10,\quad y=2\cdot10+5=25.
Ponto: (10,25).
  1. Interseção entre y=3x^{2} (segunda forma de \sqrt{3}\,x=\sqrt{y}) e y=2x+5.
Resolver 3x^{2}=2x+5:
3x^{2}-2x-5=0.
Discriminante \Delta=(-2)^{2}-4\cdot3\cdot(-5)=4+60=64, \sqrt{\Delta}=8. Assim
x=\frac{2\pm8}{6}\Rightarrow x=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}\quad\text{ou}\quad x=\frac{-6}{6}=-1.
Como as curvas com raiz exigem x\ge0, tomamos x=\dfrac{5}{3}. O correspondente
y=2\cdot\frac{5}{3}+5=\frac{10}{3}+5=\frac{10}{3}+\frac{15}{3}=\frac{25}{3}.
Ponto: \big(\tfrac{5}{3},\tfrac{25}{3}\big).
Resumindo os pontos de interseção relevantes (todos com x\ge0):
  • (0,0) entre as duas curvas com raiz;
  • \big(\tfrac{5}{3},\tfrac{25}{3}\big) entre y=3x^{2} e y=2x+5;
  • (10,25) entre y=\dfrac{x^{2}}{4} e y=2x+5.

Passo 3

Descrever a topologia/ordenação das curvas e esboçar mentalmente a região R.
  • Para x\ge0, as curvas x=2\sqrt{y} e \sqrt{3}\,x=\sqrt{y} foram reescritas como as parábolas
    y=\frac{x^{2}}{4}\quad\text{(parábola “mais aberta”, maior \(x\) para dado \(y\))},á
    e
    y=3x^{2}\quad\text{(parábola “mais fechada”, menor \(x\) para dado \(y\))}.á
    Para qualquer x>0 tem 3x^{2}>\dfrac{x^{2}}{4}.
  • A reta y=2x+5 intersecta y=3x^{2} em x=\tfrac{5}{3} e intersecta y=\dfrac{x^{2}}{4} em x=10. Em x=0 a reta tem y=5, bem acima das parábolas (que valem 0 em x=0).
  • Então a região fechada R é formada pelo caminho fechado que vai de (0,0) subindo pela parábola y=3x^{2} até \big(\tfrac{5}{3},\tfrac{25}{3}\big), segue pela reta y=2x+5 até (10,25), e retorna à origem pela parábola y=\dfrac{x^{2}}{4}. Visualmente é uma “fatia” limitada à direita pela parábola x=2\sqrt{y}, à esquerda por \sqrt{3}\,x=\sqrt{y} até a altura y=\tfrac{25}{3}, e acima pela reta a partir de y=\tfrac{25}{3} até y=25.
  • Para montar integrais com a ordem dy\,dx (tipo I), observe que a divisão natural ocorre em x-intervalos: de x=0 até x=\tfrac{5}{3} a região verticalmente vai entre as duas parábolas; de x=\tfrac{5}{3} até x=10 a região verticalmente vai entre a parábola y=\dfrac{x^{2}}{4} (embaixo) e a reta y=2x+5 (embaixo/embaixo? corrigindo: a reta está acima da parábola nessa faixa), portanto entre y=\dfrac{x^{2}}{4} e y=2x+5.

Passo 4

Montar a expressão do tipo usado em (a) Teorema (17.8)(i) — integrais com dy interno (integração vertical), como soma de duas integrais.
Pela análise do Passo 3, dividir em dois blocos em x:
  1. Para 0\le x\le \dfrac{5}{3}: as curvas inferior e superior são
\text{inferior: } y=\frac{x^{2}}{4},\qquad \text{superior: } y=3x^{2}.
Logo a contribuição é
\int_{x=0}^{5/3}\int_{y=\frac{x^{2}}{4}}^{y=3x^{2}} f(x,y)\,dy\,dx.
  1. Para \dfrac{5}{3}\le x\le 10: a parte inferior é y=\dfrac{x^{2}}{4} e a superior é a reta y=2x+5. Logo a contribuição é
\int_{x=5/3}^{10}\int_{y=\frac{x^{2}}{4}}^{y=2x+5} f(x,y)\,dy\,dx.
Somando as duas, obtemos a representação vertical (tipo I):
\boxed{\displaystyle \iint_{R} f(x,y)\,dA =\int_{0}^{5/3}\left(\int_{x^{2}/4}^{\,3x^{2}} f(x,y)\,dy\right)dx +\int_{5/3}^{10}\left(\int_{x^{2}/4}^{\,2x+5} f(x,y)\,dy\right)dx.}

Passo 5

Montar a expressão do tipo usado em (b) Teorema (17.8)(ii) — integrais com dx interno (integração horizontal), como soma de duas integrais.
Para isso convém reescrever as curvas como x em função de y (ramos com x\ge0):
  • De y=3x^{2} temos x=\sqrt{\dfrac{y}{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{y}.
  • De y=\dfrac{x^{2}}{4} temos x=2\sqrt{y}.
  • Da reta y=2x+5 obtemos x=\dfrac{y-5}{2}.
Analisar as alturas y relevantes: a região vai de y_{\min}=0 até y_{\max}=25. A reta encontra a parábola y=3x^{2} em y=\dfrac{25}{3} e encontra a outra parábola em y=25. Assim convém dividir em dois blocos em y:
  1. Para 0\le y\le \dfrac{25}{3}: a interseção horizontal corta as duas parábolas; o x menor é dado por x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{y} e o x maior por x=2\sqrt{y}. Então
\int_{y=0}^{25/3}\int_{x=\frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{y}}^{x=2\sqrt{y}} f(x,y)\,dx\,dy.
  1. Para \dfrac{25}{3}\le y\le 25: a curva da esquerda agora é a reta x=\dfrac{y-5}{2} (pois a partir de y=\tfrac{25}{3} a fronteira esquerda do domínio passa a ser a reta) e a fronteira direita continua sendo x=2\sqrt{y}. Então
\int_{y=25/3}^{25}\int_{x=\frac{y-5}{2}}^{x=2\sqrt{y}} f(x,y)\,dx\,dy.
Somando, obtemos a representação horizontal (tipo II):
\boxed{\displaystyle \iint_{R} f(x,y)\,dA =\int_{0}^{25/3}\left(\int_{\frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{y}}^{\,2\sqrt{y}} f(x,y)\,dx\right)dy +\int_{25/3}^{25}\left(\int_{\frac{y-5}{2}}^{\,2\sqrt{y}} f(x,y)\,dx\right)dy.}

Resposta

(a) \displaystyle \iint_{R} f(x,y)\,dA =\int_{0}^{5/3}\left(\int_{x^{2}/4}^{\,3x^{2}} f(x,y)\,dy\right)dx +\int_{5/3}^{10}\left(\int_{x^{2}/4}^{\,2x+5} f(x,y)\,dy\right)dx.
(b) \displaystyle \iint_{R} f(x,y)\,dA =\int_{0}^{25/3}\left(\int_{\frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{y}}^{\,2\sqrt{y}} f(x,y)\,dx\right)dy +\int_{25/3}^{25}\left(\int_{\frac{y-5}{2}}^{\,2\sqrt{y}} f(x,y)\,dx\right)dy.

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