Esboce a regiáo R delimitada pelos gráficos das equaçōes dadas. Se integral(x, y) ć uma funçăo contínua arbitrária, expresse integral duplaR f(x, y) d A como uma integral iterada, usando (a) somente o Teorema (17.8)(i) e (b) somente o Teorema (17.8)(ii).
24 y=x^3,
y=0

Passo 1

A região R é delimitada pela curva y=x^324 e pela reta y=0. Para resolver, vamos usar dois modos de descrever R como região de tipo I e de tipo II, conforme os Teoremas 17.8(i) e 17.8(ii).

Passo 2

Para aplicar o Teorema 17.8(i), caracterizamos R como região de tipo I: fixamos x primeiro. Note que y=0 está abaixo de y=tfracx^324 e a desigualdade 0<= y<= tfracx^324 só faz sentido quando x^3/24>=0, ou seja, x>=0. Assim
R=(x,y)mid 0<= x
e então
integral duplaR f(x,y),dA=integralx=0^inftyl(integraly=0^x^3/24f(x,y),dyr)dx

Passo 3

Para aplicar o Teorema 17.8(ii), caracterizamos R como região de tipo II: fixamos y primeiro. A condição 0<= y<= x^3/24 equivale a x^3>=24y, ou seja, x>=(24y)^1/3. Como sempre x>=0, temos
R=(x,y)mid 0<= y
e então
integral duplaR f(x,y),dA=integraly=0^inftyl(integralx=(24y)^1/3^inftyf(x,y),dxr)dy

Resposta

(a)
integral duplaR f(x,y),dA=integral0^inftyintegral0^x^3/24f(x,y),dy,dx
(b)
integral duplaR f(x,y),dA=integral0^inftyintegral(24y)^1/3^inftyf(x,y),dx,dy

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