(a) O que é uma série geométrica? Sob quais circunstâncias ela é convergente? Qual é sua soma?
(b) O que é uma série p ? Sob quais circunstâncias ela é convergente?

Passo 1

O enunciado pede para entendermos dois tipos de séries infinitas: a série geométrica e a série p. Vamos precisar dos conceitos de convergência de séries e dos testes (razão para geométrica e integral ou comparação para p).

Passo 2

Uma série geométrica é uma série da forma
sumn=0^infty ar^n
onde a é o primeiro termo e r é a razão comum. Para verificar a convergência usamos o teste da razão: calculamos
limntoinfty| a r^n+1a r^n| = |r|
Logo, a série converge se e somente se |r|<1.

Passo 3

Para obter a soma quando |r|<1, consideramos a soma parcial
SN = sumn=0^N ar^n = a 1-r^N+11-r
Fazendo Ntoinfty e usando |r|<1 (logo r^N+1to0), obtemos
sumn=0^infty ar^n = a1-r

Passo 4

Uma série p é da forma
sumn=1^infty 1n^p
Para estudar sua convergência aplicamos o teste da integral ou comparação com a integral de 1/x^p. Pelo teste da integral,
integral1^infty 1x^pdx
converge se e somente se p>1. Portanto a série p converge exatamente quando p>1 e diverge para p<=1.

Resposta

(a) Série geométrica: sumn=0^inftyar^n. Converge se e somente se |r|<1 e, nesse caso, sua soma é a/(1-r).
(b) Série p: sumn=1^infty1/n^p. Converge se e somente se p>1; diverge quando p<=1.

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