Esboce a regiáo R delimitada pelos gráficos das equaçōes dadas. Se integral(x, y) ć uma funçăo contínua arbitrária, expresse integral duplaR f(x, y) d A como uma integral iterada, usando (a) somente o Teorema (17.8)(i) e (b) somente o Teorema (17.8)(ii).
22 y=raizx,
x=0,
y=2

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a região R limitada pelas curvas y=\sqrt{x}, x=0 e y=2 e depois escrever integral duplaR f(x,y),dA como integral iterada de duas formas (região do tipo I e tipo II). Vamos usar os Teoremas 17.8(i) e 17.8(ii), que tratam exatamente de regiões simples verticalmente e horizontalmente.

Passo 2

Para usar o Teorema 17.8(i) (região do tipo I), interpretamos R como conjunção de faixas em y. Observando o esboço, y varia de 0 até 2 e, para cada y fixo, x vai de 0 até x=y^2 (pois y=\sqrt{x} dá x=y^2). Assim podemos escrever:
integral duplaR f(x,y),dA=integraly=0^2gl(integralx=0^y^2f(x,y),dxgr)dy

Passo 3

Para usar o Teorema 17.8(ii) (região do tipo II), interpretamos R como conjunção de faixas em x. Vemos que x vai de 0 (linha vertical) até 4 (quando y=2 em y=\sqrt{x}). Para cada x fixo, y varia de 0 até y=\sqrt{x}. Então
integral duplaR f(x,y),dA=integralx=0^4gl(integraly=0^raizxf(x,y),dygr)dx

Resposta

(a) integral duplaR f(x,y),dA=integraly=0^2integralx=0^y^2f(x,y),dx,dy
(b) integral duplaR f(x,y),dA=integralx=0^4integraly=0^raizxf(x,y),dy,dx

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