Esboce a regiáo
delimitada pelos gráficos das equaçōes dadas. Se
ć uma funçăo contínua arbitrária, expresse
como uma integral iterada, usando (a) somente o Teorema (17.8)(i) e (b) somente o Teorema (17.8)(ii).
,
,
Passo 1
O enunciado pede para desenhar a região R limitada pelas curvas y=\sqrt{x}, x=0 e y=2 e depois escrever
como integral iterada de duas formas (região do tipo I e tipo II). Vamos usar os Teoremas 17.8(i) e 17.8(ii), que tratam exatamente de regiões simples verticalmente e horizontalmente.
Passo 2
Para usar o Teorema 17.8(i) (região do tipo I), interpretamos R como conjunção de faixas em y. Observando o esboço, y varia de 0 até 2 e, para cada y fixo, x vai de 0 até x=y^2 (pois y=\sqrt{x} dá x=y^2). Assim podemos escrever:
Passo 3
Para usar o Teorema 17.8(ii) (região do tipo II), interpretamos R como conjunção de faixas em x. Vemos que x vai de 0 (linha vertical) até 4 (quando y=2 em y=\sqrt{x}). Para cada x fixo, y varia de 0 até y=\sqrt{x}. Então
Resposta
(a)
(b)
(b)