Usando o método da transformada de Laplace, resolva o seguinte sistema de equações.
l3 d xd t+3 x+2 y=e^t 4 x-3 d yd t+3 y=3 t x(0)=1, y(0)=-1

Passo 1

O sistema dado é
3dxdt + 3x + 2y = e^t 4x - 3dydt + 3y = 3t x(0)=1,;y(0)=-1
Estamos no conteúdo de Equações Diferenciais Lineares e vamos usar a transformada de Laplace para transformar o sistema em um sistema algébrico em s.

Passo 2

Tomamos a transformada de Laplace nas duas equações. Usamos
Lx'(t) = sX(s)-x(0) e Ly'(t) = sY(s)-y(0). Isso leva a
3[sX(s)-1] + 3X(s) + 2Y(s) = 1s-1
4X(s) - 3[sY(s)+1] + 3Y(s) = 3s^2

Passo 3

Agora simplificamos cada equação. Na primeira:
3(s+1)X(s) + 2Y(s) = 3s-2s-1
Na segunda, note que -3[sY(s)+1] +3Y(s) = -3(s-1)Y(s)-3 +3Y(s), então obtemos
4X(s) - 3(s-1)Y(s) = 3(1+s^2)s^2

Passo 4

Resolvemos o sistema algébrico por eliminação. Multiplicando a primeira equação por 3(s-1) e a segunda por 2, somamos para eliminar Y(s). Isso dá
X(s) = 9s^3 + 6s^2l(9s^2 -1r)
Fazendo frações parciais em
9s^3+6s^2(9s^2-1) = -6s^2 + 57/23s-1 - 51/23s+1
passamos para
X(s) = -6s^2 + 19/2s-tfrac13 - 17/2s+tfrac13

Passo 5

Invertendo a transformada de Laplace para X(s):
x(t) = -6t + 192e^t/3 - 172e^-t/3
Para encontrar y(t), voltamos à primeira equação original em t:
2y = e^t - 3x'(t) - 3x(t)
Calculamos
x'(t) = -6 + 196e^t/3 + 176e^-t/3
e obtemos
y(t) = 12e^t + 9 + 9t - 19e^t/3 + 172e^-t/3

Resposta

x(t) = -6t + \frac{19}{2}e^{t/3} - \frac{17}{2}e^{-t/3},\quad y(t) = 9 + 9t + \tfrac12e^t - 19e^{t/3} + \tfrac{17}{2}e^{-t/3}

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