Usando o método da transformada de Laplace, resolva o seguinte sistema de equações.
Passo 1
O sistema dado é
Estamos no conteúdo de Equações Diferenciais Lineares e vamos usar a transformada de Laplace para transformar o sistema em um sistema algébrico em
s .
Passo 2
Tomamos a transformada de Laplace nas duas equações. Usamos
Lx'(t) = sX(s)-x(0) e
Ly'(t) = sY(s)-y(0) . Isso leva a
Passo 3
Agora simplificamos cada equação. Na primeira:
Na segunda, note que
-3[sY(s)+1] +3Y(s) = -3(s-1)Y(s)-3 +3Y(s) , então obtemos
Passo 4
Resolvemos o sistema algébrico por eliminação. Multiplicando a primeira equação por
3(s-1) e a segunda por 2, somamos para eliminar
Y(s) . Isso dá
Fazendo frações parciais em
passamos para
Passo 5
Invertendo a transformada de Laplace para
X(s) :
Para encontrar
y(t) , voltamos à primeira equação original em t:
Calculamos
e obtemos
Resposta
x(t) = -6t + \frac{19}{2}e^{t/3} - \frac{17}{2}e^{-t/3},\quad y(t) = 9 + 9t + \tfrac12e^t - 19e^{t/3} + \tfrac{17}{2}e^{-t/3}