Esboce a regiáo
delimitada pelos gráficos das equaçōes dadas. Se
ć uma funçăo contínua arbitrária, expresse
como uma integral iterada, usando (a) somente o Teorema (17.8)(i) e (b) somente o Teorema (17.8)(ii).
,
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a região R limitada por y=
(o semicírculo superior de raio 1) e por y=0 (o eixo x). O objetivo é escrever
como integral iterada de duas maneiras: usando o Teorema (17.8)(i) (região tipo I) e o Teorema (17.8)(ii) (região tipo II).
Passo 2
Esboço da região e limites: o gráfico de
é um semicírculo de raio 1 centrado em (0,0) acima do eixo x, e
é o próprio eixo x. Logo R é o conjunto de pontos (x,y) tais que
e
.
Passo 3
Aplicação do Teorema (17.8)(i) (região tipo I): quando R é descrita por
e
, temos
No nosso caso, ,
,
e
. Portanto a forma tipo I é
No nosso caso,
Passo 4
Aplicação do Teorema (17.8)(ii) (região tipo II): quando R é descrita por
e
, temos
Para R, ,
,
e
. Assim obtemos a forma tipo II.
Para R,
Resposta
(a)
(b)