Esboce a regiáo R delimitada pelos gráficos das equaçōes dadas. Se integral(x, y) ć uma funçăo contínua arbitrária, expresse integral duplaR f(x, y) d A como uma integral iterada, usando (a) somente o Teorema (17.8)(i) e (b) somente o Teorema (17.8)(ii).
26 y=raiz1-x^2,
y=0

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a região R limitada por y= raiz1-x^2 (o semicírculo superior de raio 1) e por y=0 (o eixo x). O objetivo é escrever integral duplaR f(x,y),dA como integral iterada de duas maneiras: usando o Teorema (17.8)(i) (região tipo I) e o Teorema (17.8)(ii) (região tipo II).

Passo 2

Esboço da região e limites: o gráfico de y=raiz1-x^2 é um semicírculo de raio 1 centrado em (0,0) acima do eixo x, e y=0 é o próprio eixo x. Logo R é o conjunto de pontos (x,y) tais que
-1 <= x <= 1 e 0 <= y <= raiz1-x^2.

Passo 3

Aplicação do Teorema (17.8)(i) (região tipo I): quando R é descrita por a <= x <= b e g1(x) <= y <= g2(x), temos
integral duplaR f(x,y),dA = integrala^b l(integralg1(x)^g2(x) f(x,y),dyr) dx
No nosso caso, a=-1, b=1, g1(x)=0 e g2(x)=raiz1-x^2. Portanto a forma tipo I é

Passo 4

Aplicação do Teorema (17.8)(ii) (região tipo II): quando R é descrita por c <= y <= d e h1(y) <= x <= h2(y), temos
integral duplaR f(x,y),dA = integralc^d l(integralh1(y)^h2(y) f(x,y),dxr) dy
Para R, c=0, d=1, h1(y)=-raiz1-y^2 e h2(y)=raiz1-y^2. Assim obtemos a forma tipo II.

Resposta

(a)
integral-1^1 integral0^raiz1-x^2 f(x,y),dy,dx
(b)
integral0^1 integral-raiz1-y^2^raiz1-y^2 f(x,y),dx,dy

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