Encontre uma solução por séries de potências para a E D O de primeira ordem
4 y^prime prime+y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem usando séries de potências. A equação que temos é:
4 y'' + y = 0
Vamos precisar entender séries de potências e como aplicá-las para resolver EDOs. Basicamente, vamos assumir que a solução $ y $ pode ser escrita como uma série infinita de potências de $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar $ y $ como uma série de potências:
y
Aqui, $ a_n $ são os coeficientes que vamos determinar.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a segunda derivada de $ y $:
y
y' = sumn=1^infty n an x^n-1

Passo 4

Vamos substituir $ y’’ $ e $ y $ na equação original $ 4 y’’ + y = 0 $:
y''

Passo 5

Para facilitar a comparação dos termos, vamos trocar o índice da soma no termo de $ y’’ $. Deixe $ m = n - 2 $, então $ n = m + 2 $:
y''
Agora, ambos os somatórios estão em termos de $ x^m $.

Passo 6

Juntando as somas:
summ=0^infty [4(m+2)(m+1) am+2 + am ] x^m = 0
Para que essa igualdade valha para todo $ x $, os coeficientes de cada potência de $ x^m $ devem ser zero.

Passo 7

Assim, temos a relação de recorrência:
4(m+2)(m+1) am+2 + am = 0
Resolvendo para $ a_{m+2} $:
am+2

Passo 8

Agora, vamos determinar os coeficientes $ a_n $ usando a relação de recorrência. Precisamos de duas condições iniciais, geralmente $ a_0 $ e $ a_1 $, que representam as condições iniciais da solução.
Assumindo $ a_0 $ e $ a_1 $ como constantes arbitrárias, podemos expressar os demais coeficientes em termos deles.

Passo 9

Aplicando a relação de recorrência:
Para $ m = 0 $:
m = 0
Para $ m = 1 $:
a2 = -a04 cdot 2 cdot 1 = -a08
E assim por diante.

Passo 10

Observamos que os termos com índices pares dependem de $ a_0 $ e os ímpares de $ a_1 $. Portanto, a solução geral será a soma de duas séries:
a0

Resposta

A solução por séries de potências para a equação $ 4 y’’ + y = 0 $ é:
4 y'' + y = 0

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