Encontre uma solução por séries de potências para a
de primeira ordem
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem usando séries de potências. A equação que temos é:
Vamos precisar entender séries de potências e como aplicá-las para resolver EDOs. Basicamente, vamos assumir que a solução $ y $ pode ser escrita como uma série infinita de potências de $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar $ y $ como uma série de potências:
Aqui, $ a_n $ são os coeficientes que vamos determinar.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a segunda derivada de $ y $:
Passo 4
Vamos substituir $ y’’ $ e $ y $ na equação original $ 4 y’’ + y = 0 $:
Passo 5
Para facilitar a comparação dos termos, vamos trocar o índice da soma no termo de $ y’’ $. Deixe $ m = n - 2 $, então $ n = m + 2 $:
Agora, ambos os somatórios estão em termos de $ x^m $.
Passo 6
Juntando as somas:
Para que essa igualdade valha para todo $ x $, os coeficientes de cada potência de $ x^m $ devem ser zero.
Passo 7
Assim, temos a relação de recorrência:
Resolvendo para $ a_{m+2} $:
Passo 8
Agora, vamos determinar os coeficientes $ a_n $ usando a relação de recorrência. Precisamos de duas condições iniciais, geralmente $ a_0 $ e $ a_1 $, que representam as condições iniciais da solução.
Assumindo $ a_0 $ e $ a_1 $ como constantes arbitrárias, podemos expressar os demais coeficientes em termos deles.
Passo 9
Aplicando a relação de recorrência:
Para $ m = 0 $:
Para $ m = 1 $:
E assim por diante.
Passo 10
Observamos que os termos com índices pares dependem de $ a_0 $ e os ímpares de $ a_1 $. Portanto, a solução geral será a soma de duas séries:
Resposta
A solução por séries de potências para a equação $ 4 y’’ + y = 0 $ é: