Esboce a região R delimitada pelos gráficos das equações dadas e utilize o método das cascas cilíndricas para calcular o volume do sólido gerado pela revolução de R em torno do eixo indicado.
2 x-y-12=0, x-2 y-3=0, x=4; em torno do eixo y.

Passo 1

Temos a região R limitada pelas retas 2x - y - 12 = 0, x - 2y - 3 = 0 e pela reta vertical x = 4. O objetivo é esboçar R, expressar suas fronteiras em função de x e usar o método das cascas cilíndricas para calcular o volume gerado pela revolução de R em torno do eixo y.

Passo 2

Para encontrar R, calculamos interseções: para x=4 a reta 2x - y -12=0 dá o ponto (4,-4) e x-2y-3=0 (4,0,5). As duas retas se cruzam em (7,2). Assim R é o triângulo com vértices (4,-4), (4,0,5) e (7,2). Em 4<= x<=7, a fronteira inferior é yinf(x)=2x-12 e a superior é ysup(x)=tfracx-32.

Passo 3

No método das cascas cilíndricas, um elemento em x tem raio x e altura h(x)=ysup(x)-yinf(x)=x-32-(2x-12)=21-3x2O volume é dado por

Passo 4

Substituindo h(x) em V=integral4^72pi x,h(x),dx e simplificando, obtemos: V=piintegral4^7(21x-3x^2),dx=pil[tfrac212x^2-x^3r]4^7=pil(tfrac3432-104r)=1352pi

Resposta

V=tfrac135pi2

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