Esboce a região R delimitada pelos gráficos das equações dadas e calcule o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo indicado.
y=2 x, y=4 x^2; em torno do eixo y.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região R limitada pelas curvas y=2x e y=4x^2 e calcular o volume do sólido obtido ao girar R em torno do eixo y. O conteúdo envolvido é cálculo de volume por integração, e vamos usar o método das cascas cilíndricas para resolver.

Passo 2

Para esboçar e identificar os limites, achamos os pontos de interseção resolvendo 2x = 4x^2. Isso dá as soluções x=0 e x=1/2. Logo, R está para 0<= x<= 1/2, e para cada x a região vai de y=4x^2 (parte de baixo) até y=2x (parte de cima).

Passo 3

No método das cascas cilíndricas, tomamos fatias verticais de espessura dx. Cada casca tem raio r(x)=x e altura h(x)=2x-4x^2. A fórmula do volume é
V = 2pi integrala^b r(x),h(x),dx
Aqui a=0 e b=1/2, então
V = 2pi integral0^1/2 x,(2x - 4x^2),dx

Passo 4

Agora basta integrar:
V = 2pi integral0^1/2 (2x^2 - 4x^3),dx = 2pi l[tfrac2x^33 - x^4r]0^1/2 = 2pil(tfrac23cdottfrac18 - tfrac116r) = 2pil(tfrac112 - tfrac116r) = 2picdottfrac148 = tfracpi24

Resposta

pi24

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