Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações, use uma integral tripla para achar seu volume.
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente desenhar a região delimitada pelas equações $ z = 9 - x^2 $, $ z = 0 $, $ y = -1 $ e $ y = 2 $. Depois, precisamos usar uma integral tripla para encontrar o volume dessa região. Isso entra na matéria de cálculo multivariável, especificamente em cálculo de volumes usando integrais múltiplas. Vamos precisar entender como configurar os limites de integração para
,
e
nessa região.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as superfícies que delimitam nossa região:
-
$ z = 9 - x^2 $: Essa é uma parábola invertida em relação ao eixo
. Ela abre para baixo e intercepta o plano quando , porque . -
$ z = 0 $: Esse é o plano
, ou seja, o chão. -
$ y = -1 $ e $ y = 2 $: Essas são duas retas paralelas no plano
que limitam a região verticalmente.
Então, nossa região está entre
e
, debaixo da parábola $ z = 9 - x^2 $ e acima do plano $ z = 0 $.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral tripla. Para isso, precisamos determinar os limites de integração para cada variável.
-
Limites para
: Já temos $ y $ variando de a . -
Limites para
: A parábola $ z = 9 - x^2 $ nos diz que $ x $ varia de a (já que $ x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3 $). -
Limites para
: Para cada ponto , $ z $ varia de (plano ) até (a parábola).
Portanto, a integral tripla fica:
Passo 4
Vamos calcular a integral passo a passo.
- Integrando em relação a
:
- Integrando em relação a
:
Calculando cada parte:
Então,
- Integrando em relação a
:
Resposta
O volume da região é
unidades cúbicas.