Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações, use uma integral tripla para achar seu volume.
z=9-x^2, z=0, y=-1 e y=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente desenhar a região delimitada pelas equações $ z = 9 - x^2 $, $ z = 0 $, $ y = -1 $ e $ y = 2 $. Depois, precisamos usar uma integral tripla para encontrar o volume dessa região. Isso entra na matéria de cálculo multivariável, especificamente em cálculo de volumes usando integrais múltiplas. Vamos precisar entender como configurar os limites de integração para z = 9 - x^2 , z = 0 e y = -1 nessa região.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as superfícies que delimitam nossa região:
  • $ z = 9 - x^2 $: Essa é uma parábola invertida em relação ao eixo z = 9 - x^2 . Ela abre para baixo e intercepta o plano z quando z, porque x = pm 3.
  • $ z = 0 $: Esse é o plano 9 - x^2 = 0 Rightarrow x = pm 3, ou seja, o chão.
  • $ y = -1 $ e $ y = 2 $: Essas são duas retas paralelas no plano z = 0 que limitam a região verticalmente.
Então, nossa região está entre xy e y = -1 , debaixo da parábola $ z = 9 - x^2 $ e acima do plano $ z = 0 $.

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral tripla. Para isso, precisamos determinar os limites de integração para cada variável.
  1. Limites para y: Já temos $ y $ variando de y a -1.
  2. Limites para 2: A parábola $ z = 9 - x^2 $ nos diz que $ x $ varia de x a z = 9 - x^2 (já que $ x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3 $).
  3. Limites para x : Para cada ponto -3, $ z $ varia de 3 (plano x^2 = 9 Rightarrow x = pm 3 ) até z (a parábola).
Portanto, a integral tripla fica:
(x, y)

Passo 4

Vamos calcular a integral passo a passo.
  1. Integrando em relação a z:
integral0^9 - x^2 dz = [ z ]0^9 - x^2 = 9 - x^2
  1. Integrando em relação a x:
integral-3^3 (9 - x^2) dx = integral-3^3 9 dx - integral-3^3 x^2 dx
Calculando cada parte:
integral-3^3 9 dx = 9 times (3 - (-3)) = 9 times 6 = 54
integral-3^3 x^2 dx = 2 times integral0^3 x^2 dx = 2 times [ x^33 ]0^3 = 2 times ( 273 - 0 ) = 2 times 9 = 18
Então,
integral-3^3 (9 - x^2) dx = 54 - 18 = 36
  1. Integrando em relação a y:
integral-1^2 36 dy = 36 times (2 - (-1)) = 36 times 3 = 108

Resposta

O volume da região é 108 unidades cúbicas.

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