- (a) Esboce a região delimitada pelas parábolas
e
.
(b) Encontre a área da região esboçada no item (a).
(b) Encontre a área da região esboçada no item (a).
Passo 1
O enunciado pede (a) desenhar a região limitada pelas quatro parábolas
e (b) calcular a área dessa região. Vamos primeiro achar os pontos de interseção para entender o formato e depois usar integração para a área.
Passo 2
Encontre as interseções:
- Entre
e :
logo
. Ponto
.
2. Entre e
: processo análogo dá
e
. Ponto
.
3. Entre e
:
2. Entre
3. Entre
- Entre
e :
Portanto os vértices da região são
.
Passo 3
Para desenhar, ligue esses quatro pontos seguindo as curvas:
- De
a segue . - De
a segue . - De
a segue . - De
a segue .
O resultado é uma “diamante curvo” simétrico em relação ao eixo
e ao eixo
.
Passo 4
Para a área, use simetria em relação ao eixo
. Seja
a área acima do eixo
; então a área total é
. No semiplano
a região fica entre as parábolas
e
, de
a
, mas trocando quem é superior/inferior em cada subintervalo:
Para
,
menor curva: , maior curva:
.
Para ,
menor curva: , maior curva:
.
menor curva:
Para
menor curva:
Logo
Passo 5
Calcule as diferenças dentro das integrais:
Então
Como a região é simétrica em
, a área total é
Resposta
A área da região delimitada é
.