1. (a) Esboce a região delimitada pelas parábolas y=(x+1)^2, y= -(x-1)^2, y=-(x+1)^2 e y=(x-1)^2.
    (b) Encontre a área da região esboçada no item (a).

Passo 1

O enunciado pede (a) desenhar a região limitada pelas quatro parábolas
y = (x+1)^2, y = (x-1)^2, y = -(x+1)^2, y = -(x-1)^2
e (b) calcular a área dessa região. Vamos primeiro achar os pontos de interseção para entender o formato e depois usar integração para a área.

Passo 2

Encontre as interseções:
  1. Entre y=(x+1)^2 e y=(x-1)^2:
(x+1)^2 = (x-1)^2 ;Longrightarrow;4x=0 ;Longrightarrow;x=0,
logo y=(0+1)^2=1. Ponto (0,1).
2. Entre y=-(x+1)^2 e y=-(x-1)^2: processo análogo dá x=0 e y=-1. Ponto (0,-1).
3. Entre y=(x+1)^2 e y=-(x+1)^2:
(x+1)^2 = -(x+1)^2 ;Longrightarrow;(x+1)^2=0 ;Longrightarrow;x=-1,;y=0
  1. Entre y=(x-1)^2 e y=-(x-1)^2:
(x-1)^2=-(x-1)^2 ;Longrightarrow;x=1,;y=0
Portanto os vértices da região são (-1,0),(0,1),(1,0),(0,-1).

Passo 3

Para desenhar, ligue esses quatro pontos seguindo as curvas:
  • De (-1,0) a (0,1) segue y=(x+1)^2.
  • De (0,1) a (1,0) segue y=(x-1)^2.
  • De (1,0) a (0,-1) segue y=-(x-1)^2.
  • De (0,-1) a (-1,0) segue y=-(x+1)^2.
O resultado é uma “diamante curvo” simétrico em relação ao eixo x e ao eixo y.

Passo 4

Para a área, use simetria em relação ao eixo x. Seja A^+ a área acima do eixo x; então a área total é 2A^+. No semiplano y>=0 a região fica entre as parábolas y=(x+1)^2 e y=(x-1)^2, de x=-1 a x=1, mas trocando quem é superior/inferior em cada subintervalo:
Para -1<= x<=0,
menor curva: y=(x+1)^2, maior curva: y=(x-1)^2.
Para 0<= x<=1,
menor curva: y=(x-1)^2, maior curva: y=(x+1)^2.
Logo
A^+ = integral-1^0l[(x-1)^2 - (x+1)^2r],dx +integral0^1l[(x+1)^2 - (x-1)^2r],dx

Passo 5

Calcule as diferenças dentro das integrais:
(x-1)^2 - (x+1)^2 = -4x, (x+1)^2 - (x-1)^2 = 4x
Então
A^+ = integral-1^0(-4x),dx + integral0^14x,dx = l[-2x^2r]-1^0 + l[2x^2r]0^1 = (0 - (-2)) + (2 - 0) = 2 + 2 = 4
Como a região é simétrica em y, a área total é
A = 2A^+ = 2cdot4 = 8

Resposta

A área da região delimitada é 8.

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