Exercício 2.3.5. Esboce o sólido limitado por f(x, y)=2-x-2 y e pelos três eixos coordenados. Escreva os intervalos de variação para x, y e z.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o sólido no primeiro octante (ou seja, com x>=0, y>=0, z>=0) limitado pela superfície
z = f(x,y) = 2 - x - 2y
e pelos planos coordenados x=0, y=0, z=0. Para descrever esse sólido precisamos:
  1. encontrar onde a superfície intersecta cada eixo;
  2. projetar o sólido no plano xy para descobrir a região básica R;
  3. a partir dessa projeção escrever os limites (intervalos) para x, y e z.

Passo 2

Vamos achar os interceptos da superfície com os eixos:
  • Interseção com o eixo x ( y=0, z=0): 0 = 2 - x - 2cdot0 Longrightarrow x = 2 Ponto (2,0,0).
  • Interseção com o eixo y ( x=0, z=0): 0 = 2 - 0 - 2y Longrightarrow y = 1 Ponto (0,1,0).
  • Interseção com o eixo z ( x=0, y=0): z = 2 - 0 - 0 = 2 Ponto (0,0,2).
Esses três pontos formam a “base” triangular da face inclinada do tetraedro.

Passo 3

Para descrever o sólido em coordenadas (x,y,z), projetamos no plano xy. A condição z>=0 é equivalente a
2 - x - 2y >= 0 Long<=ftrightarrow x + 2y <= 2
Juntamente com x>=0 e y>=0, a região R é o triângulo de vértices (0,0), (2,0) e (0,1).

Passo 4

Escolhendo ordem de iteração em que primeiro fixamos x, depois y e por fim z, os limites ficam:
0 <= x <= 2, 0 <= y <= 2 - x2, 0 <= z <= 2 - x - 2y

Resposta

0 <= x <= 2, 0 <= y <= 2 - x2, 0 <= z <= 2 - x - 2y

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