Exercício 2.3.4. Esboce as superfícies descritas pelas equações:
z^2+x^2+2 x-y^2=3.

Passo 1

O enunciado pede o esboço da superfície em R^3 definida pela equação
z^2 + x^2 + 2x - y^2 = 3
O conteúdo que vamos usar é a classificação de superfícies quádricas pelo método de completar o quadrado e identificação dos coeficientes.

Passo 2

Começamos completando o quadrado em x:
x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1

Passo 3

Substituindo na equação original obtemos
z^2 + l((x+1)^2 - 1r) - y^2 = 3 Longrightarrow (x+1)^2 + z^2 - y^2 = 4
Para evidenciar a forma padrão, dividimos por 4:
(x+1)^24 ;+;z^24;-;y^24;=;1

Passo 4

Como há duas variáveis com coeficientes positivos e uma com coeficiente negativo, isso caracteriza um hiperbóide de uma folha. O centro da superfície é dado pelo deslocamento em x, ou seja, (-1,0,0). A variável com coeficiente negativo ( y) indica que o eixo principal do hiperbóide é paralelo ao eixo y.

Passo 5

Para enxergar as seções:
  1. Fixando y=y0, a seção é (x+1)^2 + z^2 = 4 + y0^2, que é uma elipse centrada em (-1,0,0) de semieixos raiz4+y0^2.
  2. Fixando z=0, a seção no plano xz é (x+1)^2 - y^2 = 4, que é uma hipérbole com centro em (-1,0).
Com essas informações, podemos esboçar o hiperbóide de uma folha crescendo à medida que lvert yrvert aumenta, com secções elípticas em planos paralelos a y=const.

Resposta

A superfície é um hiperbóide de uma folha, com equação em forma padrão
(x+1)^24+z^24-y^24=1,
centro em (-1,0,0) e eixo principal paralelo ao eixo y.

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