Exercício 2.3.4. Esboce as superfícies descritas pelas equações:
.
Passo 1
O enunciado pede o esboço da superfície em
definida pela equação
O conteúdo que vamos usar é a classificação de superfícies quádricas pelo método de completar o quadrado e identificação dos coeficientes.
Passo 2
Começamos completando o quadrado em
:
Passo 3
Substituindo na equação original obtemos
Para evidenciar a forma padrão, dividimos por
:
Passo 4
Como há duas variáveis com coeficientes positivos e uma com coeficiente negativo, isso caracteriza um hiperbóide de uma folha. O centro da superfície é dado pelo deslocamento em
, ou seja,
. A variável com coeficiente negativo (
) indica que o eixo principal do hiperbóide é paralelo ao eixo
.
Passo 5
Para enxergar as seções:
- Fixando
, a seção é que é uma elipse centrada em de semieixos . - Fixando
, a seção no plano é que é uma hipérbole com centro em .
Com essas informações, podemos esboçar o hiperbóide de uma folha crescendo à medida que
aumenta, com secções elípticas em planos paralelos a
.
Resposta
A superfície é um hiperbóide de uma folha, com equação em forma padrão
centro em
e eixo principal paralelo ao eixo
.