Esboce a região delimitada pelas retas e curvas dadas. Em seguida, expresse a área da região como uma integral dupla iterada e calcule a integral.
A parábola é
e a reta é
.
A parábola é
Passo 1
O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região limitada pela parábola y = –x² e pela reta y = –x usando integral dupla. Vamos ver o que precisamos: o ponto de interseção entre as curvas, qual é a fronteira superior e qual é a inferior e depois montar e calcular a integral.
Passo 2
Para encontrar onde as curvas se encontram, resolvemos a equação
que dá x² = x, ou seja x(x–1)=0. Daí x=0 ou x=1. Esses são os limites em x.
Passo 3
Precisamos saber qual curva está acima da outra em [0,1]. Tomando um valor intermediário, por exemplo x=½, temos
Como –¼ > –½, a parábola y=–x² fica acima da reta y=–x.
Passo 4
Agora expressamos a área A como integral dupla iterada. Em uma ordem dy dx, x varia de 0 a 1 e y de –x (inferior) a –x² (superior):
Integrando em y primeiro, obtemos
Passo 5
Basta calcular a integral em x: