Esboce a região delimitada pelas retas e curvas dadas. Em seguida, expresse a área da região como uma integral dupla iterada e calcule a integral.
A parábola é y=-x^2 e a reta é y=-x.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região limitada pela parábola y = –x² e pela reta y = –x usando integral dupla. Vamos ver o que precisamos: o ponto de interseção entre as curvas, qual é a fronteira superior e qual é a inferior e depois montar e calcular a integral.

Passo 2

Para encontrar onde as curvas se encontram, resolvemos a equação
-x^2 = -x
que dá x² = x, ou seja x(x–1)=0. Daí x=0 ou x=1. Esses são os limites em x.

Passo 3

Precisamos saber qual curva está acima da outra em [0,1]. Tomando um valor intermediário, por exemplo x=½, temos
ypar = -l(tfrac12r)^2 = -tfrac14, yreta = -tfrac12 = -tfrac24
Como –¼ > –½, a parábola y=–x² fica acima da reta y=–x.

Passo 4

Agora expressamos a área A como integral dupla iterada. Em uma ordem dy dx, x varia de 0 a 1 e y de –x (inferior) a –x² (superior):
A = integralx=0^1 integraly=-x^-x^2 dy , dx
Integrando em y primeiro, obtemos
A = integral0^1 l[-x^2 - (-x)r] , dx = integral0^1 (x - x^2) , dx

Passo 5

Basta calcular a integral em x:
integral0^1 (x - x^2) , dx = [x^22 - x^33]0^1 = 12 - 13 = 16

Resposta

16

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