Nos itens abaixo, esboce, descreva e classifique as regiões de integração.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar, descrever e classificar a região D dada por
O conteúdo envolvido é a representação de regiões planas para integrais duplas e precisamos usar as retas x=y, x=2y, e as retas horizontais y=0 e y=1.
Passo 2
As fronteiras de D são:
– Inferior: y=0
– Superior: y=1
– Lado esquerdo: x=y
– Lado direito: x=2y
Como y varia entre 0 e 1, cada valor de y fixa um segmento horizontal de x de y até 2y.
– Inferior: y=0
– Superior: y=1
– Lado esquerdo: x=y
– Lado direito: x=2y
Como y varia entre 0 e 1, cada valor de y fixa um segmento horizontal de x de y até 2y.
Passo 3
No plano xy, essas retas passam pelo ponto (0,0). Para y=1, x vai de 1 até 2. Assim, D é o triângulo com vértices (0,0), (1,1) e (2,1). O esboço mostra duas retas divergindo do origem e cruzando y=1 em x=1 e x=2.
Passo 4
Como a desigualdade já está na forma x entre funções de y, D é uma região simples do tipo I. Se quisermos descrevê-la como tipo II (y em função de x), haveria que dividir em duas partes:
Passo 5
Portanto temos:
– Descrição natural (tipo I):
– Descrição natural (tipo I):
– É uma região triangular e simples do tipo I.
Resposta
A região D é o triângulo de vértices (0,0), (1,1) e (2,1), descrito como região simples do tipo I por
$$D={(x,y):0\le y\le1,;y\le x\le2y}.
$$