Nos itens abaixo, esboce, descreva e classifique as regiões de integração.
0 <= y <= 1, y <= x <= 2 y

Passo 1

O enunciado pede para esboçar, descrever e classificar a região D dada por
0 <= y <= 1, y <= x <= 2y
O conteúdo envolvido é a representação de regiões planas para integrais duplas e precisamos usar as retas x=y, x=2y, e as retas horizontais y=0 e y=1.

Passo 2

As fronteiras de D são:
– Inferior: y=0
– Superior: y=1
– Lado esquerdo: x=y
– Lado direito: x=2y
Como y varia entre 0 e 1, cada valor de y fixa um segmento horizontal de x de y até 2y.

Passo 3

No plano xy, essas retas passam pelo ponto (0,0). Para y=1, x vai de 1 até 2. Assim, D é o triângulo com vértices (0,0), (1,1) e (2,1). O esboço mostra duas retas divergindo do origem e cruzando y=1 em x=1 e x=2.

Passo 4

Como a desigualdade já está na forma x entre funções de y, D é uma região simples do tipo I. Se quisermos descrevê-la como tipo II (y em função de x), haveria que dividir em duas partes:
0<= x<=1, & x2<= y<= x,1<= x<=2, & x2<= y<=1

Passo 5

Portanto temos:
– Descrição natural (tipo I):
D=(x,y):0<= y<=1,;y<= x<=2y
– É uma região triangular e simples do tipo I.

Resposta

A região D é o triângulo de vértices (0,0), (1,1) e (2,1), descrito como região simples do tipo I por
$$D={(x,y):0\le y\le1,;y\le x\le2y}.
$$

Exercícios relacionados