OBS: TODAS AS QUESTÕES DEVEM APRESENTAR AS DEVIDAS JUSTIFICATIVAS
(4 pontos) Dada a função
determine:
a)
ponto) Os números críticos de f.
b) (1 ponto) Os extremos relativos de f .
c) (1 ponto) Os intervalos nos quais
é crescente e decrescente.
d)
ponto) Os pontos de inflexão.
e) (1 ponto) Onde o gráfico é côncavo para cima e onde é concavo para baixo.
(4 pontos) Dada a função
a)
b) (1 ponto) Os extremos relativos de f .
c) (1 ponto) Os intervalos nos quais
d)
e) (1 ponto) Onde o gráfico é côncavo para cima e onde é concavo para baixo.
Passo 1
A função dada é
. Vamos usar derivadas para achar números críticos, extremos relativos, intervalos de crescimento/decrescimento, pontos de inflexão e concavidade.
Passo 2
Primeiro calculamos a derivada de
e determinamos onde ela se anula (números críticos). A derivada é:
Resolvendo
temos as soluções
e
.
Passo 3
Para classificar os extremos relativos, aplicamos o teste da segunda derivada. Primeiro a segunda derivada:
Avaliamo-la nos pontos críticos:
- Em
: , indica máximo relativo. - Em
: , indica mínimo relativo.
Calculamos os valores denesses pontos:
Passo 4
Para os intervalos de crescimento e decrescimento, analisamos o sinal de
. As raízes são em
, e temos:
-
: e ⇒ produto positivo ⇒ (crescente). -
: e ⇒ produto negativo ⇒ (decrescente). -
: e ⇒ produto positivo ⇒ (crescente).
Passo 5
Os pontos de inflexão ocorrem onde
e muda concavidade. Resolvendo
dá
. O valor de
ali é:
Logo o ponto de inflexão é
Passo 6
Para determinar concavidade, voltamos à segunda derivada
:
-
quando ⇒ ⇒ côncavo para cima. -
quando ⇒ ⇒ côncavo para baixo.
Resposta
a) Números críticos:
.
b) Extremos relativos: máximo em e mínimo em
.
c) é crescente em
e decrescente em
.
d) Ponto de inflexão em .
e) Côncavo para baixo em e côncavo para cima em
.
b) Extremos relativos: máximo em
c)
d) Ponto de inflexão em
e) Côncavo para baixo em