OBS: TODAS AS QUESTÕES DEVEM APRESENTAR AS DEVIDAS JUSTIFICATIVAS
(4 pontos) Dada a função f(x)=4 x^3+3 x^2 determine:
a) (0,5 ponto) Os números críticos de f.
b) (1 ponto) Os extremos relativos de f .
c) (1 ponto) Os intervalos nos quais f é crescente e decrescente.
d) (0,5 ponto) Os pontos de inflexão.
e) (1 ponto) Onde o gráfico é côncavo para cima e onde é concavo para baixo.

Passo 1

A função dada é f(x)=4x^3+3x^2. Vamos usar derivadas para achar números críticos, extremos relativos, intervalos de crescimento/decrescimento, pontos de inflexão e concavidade.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de f e determinamos onde ela se anula (números críticos). A derivada é:
f'(x)=ddx(4x^3+3x^2)=12x^2+6x=6x(2x+1)
Resolvendo f'(x)=0 temos as soluções x=0 e x=-tfrac12.

Passo 3

Para classificar os extremos relativos, aplicamos o teste da segunda derivada. Primeiro a segunda derivada:
f''(x)=ddx(12x^2+6x)=24x+6=6(4x+1)
Avaliamo-la nos pontos críticos:
  • Em x=-tfrac12: f''(-tfrac12)=6(4(-tfrac12)+1)=6(-2+1)=-6<0, indica máximo relativo.
  • Em x=0: f''(0)=6(4cdot0+1)=6>0, indica mínimo relativo.
    Calculamos os valores de f nesses pontos:
f(-tfrac12)=4(-tfrac12)^3+3(-tfrac12)^2=-tfrac12+tfrac34=tfrac14, f(0)=0

Passo 4

Para os intervalos de crescimento e decrescimento, analisamos o sinal de f'(x)=6x(2x+1). As raízes são em -tfrac12,0, e temos:
  • x<-tfrac12: x<0 e 2x+1<0 ⇒ produto positivo ⇒ f' >0 (crescente).
  • -tfrac12: x<0 e 2x+1>0 ⇒ produto negativo ⇒ f'<0 (decrescente).
  • x>0: x>0 e 2x+1>0 ⇒ produto positivo ⇒ f'>0 (crescente).

Passo 5

Os pontos de inflexão ocorrem onde f''(x)=0 e muda concavidade. Resolvendo 24x+6=0 x=-tfrac14. O valor de f ali é:
f(-tfrac14)=4(-tfrac14)^3+3(-tfrac14)^2=-tfrac116+tfrac316=tfrac216=tfrac18
Logo o ponto de inflexão é (-tfrac14,tfrac18).

Passo 6

Para determinar concavidade, voltamos à segunda derivada f''(x)=24x+6:
  • f''(x)>0 quando 24x+6>0 x> -tfrac14 ⇒ côncavo para cima.
  • f''(x)<0 quando 24x+6<0 x< -tfrac14 ⇒ côncavo para baixo.

Resposta

a) Números críticos: x=-tfrac12,,0.
b) Extremos relativos: máximo em (-tfrac12,,tfrac14) e mínimo em (0,0).
c) f é crescente em (-infty,-tfrac12)cup(0,infty) e decrescente em (-tfrac12,0).
d) Ponto de inflexão em (-tfrac14,,tfrac18).
e) Côncavo para baixo em ( -infty,-tfrac14) e côncavo para cima em (-tfrac14,infty).

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