Exprima a solução geral da equação seguinte como uma série de potências em torno do ponto
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Passo 1
A equação é 2y’’+2x^2y’−xy=0. O conteúdo aqui é desenvolvimento em série de potências em torno de x=0. Para resolver, vamos assumir uma solução do tipo y=∑_{n=0}∞a_nxn, calcular y’ e y’’, e depois achar uma relação de recorrência entre os coeficientes a_n.
Passo 2
Escrevendo as séries, temos:
Passo 3
Substituindo na equação original:
Reindexando para alinhar potências x^k, obtemos
Passo 4
Igualando coeficientes de x^k a zero:
Para k=0: 2·2·1·a_2=0 ⇒ a_2=0.
Para k≥1:
Para k=0: 2·2·1·a_2=0 ⇒ a_2=0.
Para k≥1:
Logo a relação de recorrência é
Passo 5
Como a_2=0, todos os termos a_{3m+2} são nulos. Temos duas séries independentes, partindo de a_0 e a_1. Normalizando a_0=1, calculamos
Logo
Para a_1=1, obtemos
Logo
Passo 6
A solução geral da equação em série de potências é a combinação linear dessas duas séries.