Exprima a solução geral da equação seguinte como uma série de potências em torno do ponto x=0.
2 y^prime prime+2 x^2 y^prime-x y=0.

Passo 1

A equação é 2y’’+2x^2y’−xy=0. O conteúdo aqui é desenvolvimento em série de potências em torno de x=0. Para resolver, vamos assumir uma solução do tipo y=∑_{n=0}∞a_nxn, calcular y’ e y’’, e depois achar uma relação de recorrência entre os coeficientes a_n.

Passo 2

Escrevendo as séries, temos:
y=sumn=0^inftyanx^n, y'=sumn=1^inftyn,anx^n-1, y''=sumn=2^inftyn(n-1)anx^n-2

Passo 3

Substituindo na equação original:
2sumn=2^infty n(n-1)anx^n-2+2x^2sumn=1^infty n anx^n-1-xsumn=0^infty anx^n=0
Reindexando para alinhar potências x^k, obtemos
sumk=0^infty2(k+2)(k+1)ak+2x^k+sumk=2^infty2(k-1)ak-1x^k-sumk=1^infty ak-1x^k=0

Passo 4

Igualando coeficientes de x^k a zero:
Para k=0: 2·2·1·a_2=0 ⇒ a_2=0.
Para k≥1:
2(k+2)(k+1)ak+2+(2k-3)ak-1=0
Logo a relação de recorrência é
ak+2=-2k-32(k+2)(k+1),ak-1

Passo 5

Como a_2=0, todos os termos a_{3m+2} são nulos. Temos duas séries independentes, partindo de a_0 e a_1. Normalizando a_0=1, calculamos
a3=112,;a6=-1144,;a9=1120736,dots
Logo
y1(x)=1+x^312-x^6144+11x^920736+cdots
Para a_1=1, obtemos
a4=-124,;a7=72016,dots
Logo
y2(x)=x-x^424+7x^72016+cdots

Passo 6

A solução geral da equação em série de potências é a combinação linear dessas duas séries.

Resposta

y(x)=C1l(1+x^312-x^6144+cdotsr)+C2l(x-x^424+7x^72016+cdotsr)

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