Esboce a região delimitada pelas retas e curvas dadas. Em seguida, expresse a área da região como uma integral dupla iterada e calcule a integral.
As curvas são
e
e a reta é
, no primeiro quadrante.
As curvas são
Passo 1
Temos a região no 1º quadrante limitada pelas curvas
,
e pela reta vertical
. O objetivo é esboçar essa região, montar a integral dupla em coordenadas cartesianas para calcular sua área e, em seguida, efetuar o cálculo.
Passo 2
Para determinar os limites de integração, observamos onde
. Isso implica
, ou seja,
. Nas extremidades, a reta
intercepta as curvas em
e
. Logo,
varia de
a
e, para cada
,
varia de
até
.
Passo 3
A área
da região pode então ser escrita como integral dupla iterada:
Passo 4
Dentro da integral, primeiro integramos em
:
Portanto
Para calcular
usamos integração por partes com
,
, resultando em
. Avaliando de 1 a
dá
Resposta
1