Esboce a região delimitada pelas retas e curvas dadas. Em seguida, expresse a área da região como uma integral dupla iterada e calcule a integral.
As curvas são y=ln x e y=2 ln x e a reta é x=e, no primeiro quadrante.

Passo 1

Temos a região no 1º quadrante limitada pelas curvas y=ln x, y=2ln x e pela reta vertical x=e. O objetivo é esboçar essa região, montar a integral dupla em coordenadas cartesianas para calcular sua área e, em seguida, efetuar o cálculo.

Passo 2

Para determinar os limites de integração, observamos onde ln x = 2ln x. Isso implica ln x =0, ou seja, x=1. Nas extremidades, a reta x=e intercepta as curvas em y=ln e=1 e y=2ln e=2. Logo, x varia de 1 a e e, para cada x, y varia de y=ln x até y=2ln x.

Passo 3

A área A da região pode então ser escrita como integral dupla iterada:
A = integral duplaR dA = integralx=1^e integraly=ln x^y=2ln x dy,dx

Passo 4

Dentro da integral, primeiro integramos em y:
integraly=ln x^2ln x dy = 2ln x - ln x = ln x
Portanto
A = integral1^e ln x,dx
Para calcular integral ln x,dx usamos integração por partes com u=ln x, dv=dx, resultando em xln x - x. Avaliando de 1 a e
l[ecdot1 - er] - l[1cdot0 - 1r] = 0 + 1 = 1

Resposta

1

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