Exprima a solução geral da equação seguinte como uma série de potências em torno do ponto
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a solução geral da equação diferencial
usando uma série de potências em torno de
. Isso está dentro do conteúdo de equações diferenciais e séries de potências. Para resolver, vamos precisar entender como expandir funções em séries e como substituir isso na equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potências:
Isso significa que
é a soma de termos como
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a primeira e a segunda derivadas de
:
Passo 4
Vamos substituir
e
na equação diferencial
:
Passo 5
Para simplificar, vamos ajustar os índices das somas para que ambas comecem com
. Vamos fazer uma troca de variável na primeira soma, deixando-a em termos de
:
Passo 6
Agora, podemos combinar as somas:
Passo 7
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, cada coeficiente de
deve ser zero:
Passo 8
Isso nos dá uma relação de recorrência para os coeficientes
. Podemos usar isso para encontrar todos os
a partir de
e
, que são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 9
Resolvendo a recorrência, descobrimos que a solução geral é uma combinação de funções exponenciais:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Resposta
A solução geral da equação
expressa como uma série de potências em torno de
é: