Exprima a solução geral da equação seguinte como uma série de potências em torno do ponto x=0.
y^prime prime-y=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a solução geral da equação diferencial usando uma série de potências em torno de . Isso está dentro do conteúdo de equações diferenciais e séries de potências. Para resolver, vamos precisar entender como expandir funções em séries e como substituir isso na equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução y(x) = sumn=0^infty an x^n pode ser escrita como uma série de potências:
Isso significa que é a soma de termos como .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a primeira e a segunda derivadas de y'(x) = sumn=1^infty n an x^n-1 :
y''(x) = sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2

Passo 4

Vamos substituir sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2 - sumn=0^infty an x^n = 0 e na equação diferencial :

Passo 5

Para simplificar, vamos ajustar os índices das somas para que ambas comecem com sumn=0^infty (n+2)(n+1) an+2 x^n - sumn=0^infty an x^n = 0 . Vamos fazer uma troca de variável na primeira soma, deixando-a em termos de :

Passo 6

Agora, podemos combinar as somas:
sumn=0^infty [ (n+2)(n+1) an+2 - an ] x^n = 0

Passo 7

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo (n+2)(n+1) an+2 - an = 0 Rightarrow an+2 = an(n+2)(n+1) , cada coeficiente de deve ser zero:

Passo 8

Isso nos dá uma relação de recorrência para os coeficientes . Podemos usar isso para encontrar todos os a partir de e , que são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 9

Resolvendo a recorrência, descobrimos que a solução geral é uma combinação de funções exponenciais:
y(x) = C1 e^x + C2 e^-x
onde e são constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral da equação y(x) = C1 e^x + C2 e^-x expressa como uma série de potências em torno de é:

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