Exprima a solução geral da equação seguinte como uma série de potências em torno do ponto
.
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da EDO de terceira ordem
como série de potências em torno de
. O conteúdo é método de séries de potências (caso ordinário), e vamos precisar assumir uma expansão
.
Passo 2
Assumimos
. Então
– ,
– ,
– .
Também temos
– ,
– .
–
–
–
Também temos
–
–
Passo 3
Colocando tudo em potências de
e igualando a zero:
– Para :
⇒
.
– Para :
– Para
– Para
Passo 4
que dá a recorrência
Passo 5
Como é ODE de 3ª ordem, temos três constantes livres:
.
Analisando a recorrência vemos que a série com só gera
(pois todos os demais coeficientes ligados a
ficam zero). As séries ligadas a
e a
têm termos em potências de 4 em 4 e de 4 em 4 a partir de
, respectivamente.
Analisando a recorrência vemos que a série com
Passo 6
Escrevendo as três soluções independentes:
– Solução 1 (choque com ):
.
– Solução 2 (choque com ):
– Solução 1 (choque com
– Solução 2 (choque com
– Solução 3 (choque com
Passo 7
A solução geral é combinação linear destas três séries.
Resposta
$$y(x)=C_1,x ;+
C_2\Bigl(1 + \tfrac{1}{24}x^4 - \tfrac{1}{2688}x^8 + \cdots\Bigr)
C_2\Bigl(1 + \tfrac{1}{24}x^4 - \tfrac{1}{2688}x^8 + \cdots\Bigr)
- C_3\Bigl(x^2 - \tfrac{1}{120}x^6 + \tfrac{1}{17280}x^{10} - \cdots\Bigr).$$