Exprima a solução geral da equação seguinte como uma série de potências em torno do ponto x=0.
y^prime prime prime+x^2 y^prime-x y=0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da EDO de terceira ordem y''' + x^2 y' - x y = 0 como série de potências em torno de x=0. O conteúdo é método de séries de potências (caso ordinário), e vamos precisar assumir uma expansão y=sumn=0^infty an x^n.

Passo 2

Assumimos y=sumn=0^infty an x^n. Então
y'=sumn=1^infty n an x^n-1,
y''=sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2,
y'''=sumn=3^infty n(n-1)(n-2) an x^n-3.
Também temos
x^2y' = sumn=1^infty n an x^n+1 = summ=2^infty (m-1) am-1 x^m,
-x y = -sumn=0^infty an x^n+1 = -summ=1^infty am-1 x^m.

Passo 3

Colocando tudo em potências de x^m e igualando a zero:
– Para m=0: 6a3=0 a3=0.
– Para m>=1:
(m+3)(m+2)(m+1)am+3 + (m-2)am-1=0

Passo 4

que dá a recorrência
am+3 = -m-2(m+3)(m+2)(m+1),am-1, m>=1

Passo 5

Como é ODE de 3ª ordem, temos três constantes livres: a0, a1, a2.
Analisando a recorrência vemos que a série com a1 só gera a1 x (pois todos os demais coeficientes ligados a a1 ficam zero). As séries ligadas a a0 e a a2 têm termos em potências de 4 em 4 e de 4 em 4 a partir de x^2, respectivamente.

Passo 6

Escrevendo as três soluções independentes:
– Solução 1 (choque com a1): y1(x)=x.
– Solução 2 (choque com a0):
y2(x)=1 + tfrac124x^4 - tfrac12688x^8 + cdots
– Solução 3 (choque com a2):
y3(x)=x^2 - tfrac1120x^6 + tfrac117280x^10 - cdots

Passo 7

A solução geral é combinação linear destas três séries.

Resposta

$$y(x)=C_1,x ;+
C_2\Bigl(1 + \tfrac{1}{24}x^4 - \tfrac{1}{2688}x^8 + \cdots\Bigr)
  • C_3\Bigl(x^2 - \tfrac{1}{120}x^6 + \tfrac{1}{17280}x^{10} - \cdots\Bigr).$$

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