Esboce a região delimitada, simultaneamente, pelas curvas indicadas e encontre sua área.
y=\operatorname{arctg}(2 x), x=\frac{1}{2}, y=0

Passo 1

O enunciado dá três curvas que limitam uma região e pede a área dessa região. Vou listar claramente o que temos e quais limites elas impõem:
  • A curva superior é y=\operatorname{arctg}(2x).
  • Uma reta vertical que limita à direita: x=\tfrac{1}{2}.
  • A reta horizontal y=0 (eixo x) que limita abaixo.
Precisamos encontrar a área da região limitada simultaneamente por essas três curvas. Para isso é útil localizar as interseções relevantes:
  • Interseção entre y=\operatorname{arctg}(2x) e y=0: resolver \operatorname{arctg}(2x)=0 2x=0\Rightarrow x=0. Então a curva cruza o eixo x em x=0.
  • Interseção entre y=\operatorname{arctg}(2x) e x=\tfrac{1}{2}: para x=\tfrac{1}{2} tem-se y=\operatorname{arctg}(1)=\tfrac{\pi}{4}.
Portanto a região é a “faixa” no primeiro quadrante entre x=0 e x=\tfrac{1}{2}, limitada abaixo por y=0 e acima por y=\operatorname{arctg}(2x).

Passo 2

Como a região é naturalmente descrita por y como função de x (temos y=f(x) com fronteira vertical x= constantes), a maneira direta de calcular a área é integrar em x a diferença entre a fronteira superior e a inferior:
\text{Área}=\int_{x_{\text{esq}}}^{x_{\text{dir}}} \big(\text{topo}(x)-\text{base}(x)\big)\,dx.Á
Aqui a fronteira superior é \operatorname{arctg}(2x) e a inferior é 0. Os limites em x são de 0 até \tfrac{1}{2}. Assim o problema reduz-se a calcular uma integral definida.

Passo 3

Montando a integral:
\text{Área}=\int_{0}^{\tfrac{1}{2}} \operatorname{arctg}(2x)\,dx.Á
Agora preciso calcular essa integral. Vou explicar e aplicar um método para encontrar a primitiva de \operatorname{arctg}(2x).

Passo 4

Vou usar integração por partes. Lembrete do método (fórmula):
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Escolho
u=\operatorname{arctg}(2x),\qquad dv=dx.
Então v=x (porque \int dx = x) e preciso de du. Para obter du uso a regra da cadeia e a derivada de \operatorname{arctg}:
  • A derivada de \operatorname{arctg}(t) em relação a t é \dfrac{1}{1+t^{2}}.
  • Aplicando a regra da cadeia com t=2x resulta
du = \frac{d}{dx}\big(\operatorname{arctg}(2x)\big)\,dx = \frac{1}{1+(2x)^{2}}\cdot(2)\,dx = \frac{2}{1+4x^{2}}\,dx.
Aplicando a fórmula de partes:
\int \operatorname{arctg}(2x)\,dx = x\operatorname{arctg}(2x) - \int x\cdot\frac{2}{1+4x^{2}}\,dx.

Passo 5

Agora calculo a integral restante
\int x\cdot\frac{2}{1+4x^{2}}\,dx = \int \frac{2x}{1+4x^{2}}\,dx.
Faço a substituição simples para este tipo de integral racional: defina t=1+4x^{2}. Então dt = 8x\,dx, portanto x\,dx = \dfrac{dt}{8}. Assim
\int \frac{2x}{1+4x^{2}}\,dx = 2\int \frac{x\,dx}{t} = 2\int \frac{1}{t}\cdot\frac{dt}{8} = \frac{1}{4}\int \frac{dt}{t} = \frac{1}{4}\ln|t| + C.
Voltando à variável x:
\int \frac{2x}{1+4x^{2}}\,dx = \frac{1}{4}\ln\big(1+4x^{2}\big)+C.

Passo 6

Substituindo de volta na expressão da primitiva obtida por partes:
\int \operatorname{arctg}(2x)\,dx = x\operatorname{arctg}(2x) - \frac{1}{4}\ln\big(1+4x^{2}\big) + C.
Agora uso essa primitiva para avaliar a integral definida de 0 a \tfrac{1}{2}:
\text{Área}=\Big[ x\operatorname{arctg}(2x) - \frac{1}{4}\ln\big(1+4x^{2}\big)\Big]_{0}^{\tfrac{1}{2}}.Á
Calculo nos extremos:
  • Para x=\tfrac{1}{2}: \operatorname{arctg}(2x)=\operatorname{arctg}(1)=\tfrac{\pi}{4}. Então
x\operatorname{arctg}(2x)\Big|_{x=\tfrac{1}{2}} = \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8},
e
\frac{1}{4}\ln\big(1+4x^{2}\big)\Big|_{x=\tfrac{1}{2}} = \frac{1}{4}\ln\big(1+4\cdot\tfrac{1}{4}\big)=\frac{1}{4}\ln 2.
  • Para x=0: \operatorname{arctg}(0)=0 e \ln(1+0)=\ln 1=0, então a expressão é 0.
Portanto a área é
\text{Área}=\frac{\pi}{8}-\frac{1}{4}\ln 2.Á
Para dar uma intuição numérica: \dfrac{\pi}{8}\approx 0{,}3927 e \dfrac{1}{4}\ln 2\approx 0{,}1733, logo a área aproximada é 0{,}2194.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{8}-\frac{1}{4}\ln 2

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