Esboce a região delimitada, simultaneamente, pelas curvas indicadas e encontre sua área. y=\operatorname{arctg}(2 x), x=\frac{1}{2}, y=0
Passo 1
O enunciado dá três curvas que limitam uma região e pede a área dessa região. Vou listar claramente o que temos e quais limites elas impõem:
A curva superior é y=\operatorname{arctg}(2x).
Uma reta vertical que limita à direita: x=\tfrac{1}{2}.
A reta horizontal y=0 (eixo x) que limita abaixo.
Precisamos encontrar a área da região limitada simultaneamente por essas três curvas. Para isso é útil localizar as interseções relevantes:
Interseção entre y=\operatorname{arctg}(2x) e y=0: resolver \operatorname{arctg}(2x)=0 dá 2x=0\Rightarrow x=0. Então a curva cruza o eixo x em x=0.
Interseção entre y=\operatorname{arctg}(2x) e x=\tfrac{1}{2}: para x=\tfrac{1}{2} tem-se y=\operatorname{arctg}(1)=\tfrac{\pi}{4}.
Portanto a região é a “faixa” no primeiro quadrante entre x=0 e x=\tfrac{1}{2}, limitada abaixo por y=0 e acima por y=\operatorname{arctg}(2x).
Passo 2
Como a região é naturalmente descrita por y como função de x (temos y=f(x) com fronteira vertical x= constantes), a maneira direta de calcular a área é integrar em x a diferença entre a fronteira superior e a inferior:
Aqui a fronteira superior é \operatorname{arctg}(2x) e a inferior é 0. Os limites em x são de 0 até \tfrac{1}{2}. Assim o problema reduz-se a calcular uma integral definida.