Esboce a região delimitada, simultaneamente, pelas curvas indicadas e encontre sua área.
y=\ln (2 x), x=\frac{e}{2}, y=0

Passo 1

O enunciado dá três curvas e pede para esboçar a região que é simultaneamente limitada por elas e encontrar a área dessa região. As curvas fornecidas são:
  • y=\ln(2x),
  • x=\dfrac{e}{2},
  • y=0.
As perguntas claras que precisamos responder:
  1. Onde essas curvas se interceptam (pontos que definem a região)?
  2. Qual é a forma da região (como esboçá-la)?
  3. Qual é a área da região delimitada por essas três curvas?

Passo 2

Encontrar as interseções entre as curvas — primeiro a interseção entre y=\ln(2x) e y=0.
Igualando:
\ln(2x)=0.
Lembrando que \ln(a)=0 implica a=1. Logo
2x=1 \quad\Rightarrow\quad x=\tfrac{1}{2}.
Portanto há um ponto de interseção em \bigl(\tfrac{1}{2},0\bigr).

Passo 3

Encontrar a interseção entre y=\ln(2x) e x=\dfrac{e}{2}.
Substituindo x=\dfrac{e}{2} na função:
y=\ln\!\bigl(2\cdot \tfrac{e}{2}\bigr)=\ln(e)=1.
Portanto há um ponto de interseção em \bigl(\tfrac{e}{2},1\bigr).
Além disso, x=\dfrac{e}{2} intersecta y=0 no ponto \bigl(\tfrac{e}{2},0\bigr).

Passo 4

Esboço e descrição da região (texto para visualizar o desenho):
  • A curva y=\ln(2x) é definida para x>0 e é crescente; em x=\tfrac{1}{2} vale 0, e em x=\tfrac{e}{2} vale 1.
  • A reta vertical x=\tfrac{e}{2} é a fronteira à direita, cortando a curva em \bigl(\tfrac{e}{2},1\bigr) e o eixo x em \bigl(\tfrac{e}{2},0\bigr).
  • A reta y=0 é o eixo x, formando a fronteira inferior.
Logo, a região limitada é a região sob a curva y=\ln(2x), acima do eixo y=0, entre x=\tfrac{1}{2} (onde a curva encontra o eixo) e x=\tfrac{e}{2} (a reta vertical). É uma região tipo “faixa” vertical: para cada x em \bigl[\tfrac{1}{2},\tfrac{e}{2}\bigr] temos os pontos entre y=0 (embaixo) e y=\ln(2x) (acima).

Passo 5

Montar a integral que dá a área. Como a região é descrita por x variando de \tfrac{1}{2} até \tfrac{e}{2} e a altura em cada x é \text{topo} - \text{base} = \ln(2x)-0, a área A é
A=\int_{x=\tfrac{1}{2}}^{x=\tfrac{e}{2}} \ln(2x)\,dx.
Agora precisamos calcular essa integral definida. Vou lembrar e explicar a primitiva de \ln(2x).

Passo 6

Calcular a primitiva de \ln(2x). Uma forma natural é usar substituição u=2x, mas também é útil conhecer a fórmula geral:
\int \ln(u)\,du = u\ln(u)-u + C.
Com u=2x e du=2\,dx temos dx=\tfrac{1}{2}du. Então
\int \ln(2x)\,dx = \int \ln(u)\cdot \tfrac{1}{2}\,du = \tfrac{1}{2}\bigl(u\ln u - u\bigr)+C.
Voltando a x (ou simplificando diretamente), isso dá
\int \ln(2x)\,dx = x\ln(2x)-x + C.
Breve explicação do que cada termo representa: a primitiva combina a função x multiplicada pelo logaritmo \ln(2x) e um termo -x que aparece porque a derivada de x\ln(2x) traz tanto \ln(2x) quanto um termo que cancela, deixando exatamente \ln(2x).

Passo 7

Avaliar a integral definida usando a primitiva F(x)=x\ln(2x)-x:
A = \left[ x\ln(2x)-x \right]_{x=\tfrac{1}{2}}^{x=\tfrac{e}{2}}.
Calcular em x=\tfrac{e}{2}:
F\!\bigl(\tfrac{e}{2}\bigr)=\tfrac{e}{2}\ln\!\bigl(2\cdot \tfrac{e}{2}\bigr)-\tfrac{e}{2} =\tfrac{e}{2}\ln(e)-\tfrac{e}{2} =\tfrac{e}{2}\cdot 1 - \tfrac{e}{2}=0.
Calcular em x=\tfrac{1}{2}:
F\!\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=\tfrac{1}{2}\ln\!\bigl(2\cdot \tfrac{1}{2}\bigr)-\tfrac{1}{2} =\tfrac{1}{2}\ln(1)-\tfrac{1}{2} =\tfrac{1}{2}\cdot 0 - \tfrac{1}{2}=-\tfrac{1}{2}.
Portanto
A = 0 - \bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)=\tfrac{1}{2}.

Passo 8

Interpretação final e checagem rápida:
  • A área é positiva e de tamanho razoável: \tfrac{1}{2}.
  • Faz sentido intuitivo: perto do início ( x=\tfrac{1}{2}) a altura é zero e cresce até 1 em x=\tfrac{e}{2}; a base tem comprimento \tfrac{e}{2}-\tfrac{1}{2}, então uma área da ordem de 0{,}5 é compatível.
Força aí — você fechou a conta no final e o resultado é bem simples!

Resposta

\dfrac{1}{2}

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