Esboce a região delimitada, simultaneamente, pelas curvas indicadas e encontre sua área.
Passo 1
O enunciado dá três curvas e pede para esboçar a região que é simultaneamente limitada por elas e encontrar a área dessa região. As curvas fornecidas são:
-
, -
, -
.
As perguntas claras que precisamos responder:
- Onde essas curvas se interceptam (pontos que definem a região)?
- Qual é a forma da região (como esboçá-la)?
- Qual é a área da região delimitada por essas três curvas?
Passo 2
Encontrar as interseções entre as curvas — primeiro a interseção entre
e
.
Igualando:
Lembrando que
implica
. Logo
Portanto há um ponto de interseção em
.
Passo 3
Encontrar a interseção entre
e
.
Substituindo
na função:
Portanto há um ponto de interseção em
.
Além disso,
intersecta
no ponto
.
Passo 4
Esboço e descrição da região (texto para visualizar o desenho):
- A curva
é definida para e é crescente; em vale , e em vale . - A reta vertical
é a fronteira à direita, cortando a curva em e o eixo em . - A reta
é o eixo , formando a fronteira inferior.
Logo, a região limitada é a região sob a curva
, acima do eixo
, entre
(onde a curva encontra o eixo) e
(a reta vertical). É uma região tipo “faixa” vertical: para cada
em
temos os pontos entre
(embaixo) e
(acima).
Passo 5
Montar a integral que dá a área. Como a região é descrita por
variando de
até
e a altura em cada
é
, a área
é
Agora precisamos calcular essa integral definida. Vou lembrar e explicar a primitiva de
.
Passo 6
Calcular a primitiva de
. Uma forma natural é usar substituição
, mas também é útil conhecer a fórmula geral:
Com
e
temos
. Então
Voltando a
(ou simplificando diretamente), isso dá
Breve explicação do que cada termo representa: a primitiva combina a função
multiplicada pelo logaritmo
e um termo
que aparece porque a derivada de
traz tanto
quanto um termo que cancela, deixando exatamente
.
Passo 7
Avaliar a integral definida usando a primitiva
:
Calcular em
:
Calcular em
:
Portanto
Passo 8
Interpretação final e checagem rápida:
- A área é positiva e de tamanho razoável:
. - Faz sentido intuitivo: perto do início (
) a altura é zero e cresce até em ; a base tem comprimento , então uma área da ordem de é compatível.
Força aí — você fechou a conta no final e o resultado é bem simples!