Explicação rápida de onde vem G: a solução homogênea geral é A\cos(\omega_0 t)+B\sin(\omega_0 t). Para condições nulas, a contribuição da condição inicial some e a influência de f acumula através dessa integral com o kernel \frac{1}{\omega_0}\sin(\omega_0 t). Essa representação é muito prática quando f é por partes constante, como aqui.
Passo 3
Calcular u(t) explicitamente no intervalo 0\le t<1.
Se 0\le t<1, então ao integrar de s=0 até s=t temos f(s)=1 em todo o intervalo [0,t]. Assim
Observação didática rápida: é a mesma forma que se obtém para força constante f\equiv 1 aplicada desde t=0; a oscilação inicial é construída pela convolução com \sin.
Passo 4
Calcular u(t) no intervalo 1\le t<2.
Para 1\le t<2 a integral \int_0^t precisa ser dividida em duas partes, porque f(s)=1 em s\in[0,1) e f(s)=-1 em s\in[1,t]. Assim
No intervalo 1\le t<2 pode-se calcular o u'(t) correspondente (procedimento análogo ao passo anterior); em t=1 verifica-se a continuidade de u'. Em geral, u'' terá descontinuidades quando f pula (pois u''=-\omega_0^2 u+f), o que é normal.
Passo 6
Como obter u(t) para t\ge2 (estratégia e forma geral).
A solução geral para qualquer t\ge0 continua sendo a fórmula de convolução
Para calcular explicitamente u(t) em um t qualquer, escreva t=2N+\tau com N=\lfloor t/2\rfloor e \tau\in[0,2). Então separam-se as integrais sobre cada período de f:
Em cada período a função f tem o mesmo padrão, então cada integral sobre [2k,2k+2] é uma tradução da integral sobre [0,2] e pode ser transformada usando identidades trigonométricas em termos da integral sobre [0,2] multiplicada por \cos(2k\omega_0) e \sin(2k\omega_0). Assim u(t) resulta numa combinação linear de somas geométricas de \cos(2k\omega_0) e \sin(2k\omega_0) (fórmula fechada possível via soma de progressão geométrica complexa).
Resumo prático para a prova: para qualquer t basta partir da expressão de convolução e dividir a integração em blocos de comprimento 1 ou 2 (como fizemos nos passos 3–4). Se for preciso expressar em forma fechada para t grande, computa-se as integrais de um período e soma-se a contribuição das cópias deslocadas usando somas geométricas de termos e^{i2k\omega_0}. Cuidado com casos de ressonância quando e^{i2\omega_0}=1 (i.e. \omega_0=k\pi), aí as somas degeneram e há fórmulas limites (aplicar limite ou somas aritméticas).
Passo 7
Caso especial \omega_0=0 (comentário breve)
Se \omega_0=0 a equação torna-se u''=f(t) com u(0)=u'(0)=0. A resolução é dupla integração:
u(t)=\int_{0}^{t}\!\int_{0}^{s}f(r)\,dr\,ds.
Para 0\le t<1 isso dá u(t)=\int_0^t\int_0^s 1\,dr\,ds=\tfrac{1}{2}t^2. Para 1\le t<2 tem-se expressão polinomial obtida somando a parte da primeira unidade de tempo e a parte com f=-1, e assim por diante por períodos.