Resolva o PVI
\left\{\begin{array}{l} u^{\prime \prime}+\omega_{0}^{2} u=f(t) \\\ \mu(0)=\mu^{\prime}(0)=0 \end{array}\right.
onde
\begin{aligned} & f(t)=\left\{\begin{array}{cl} 1, \text { se } t \in[0,1) \\\\ -1, \text { se } t \in[1,2) \end{array}\right. \\\ & f(t+2)=f(t) \end{aligned}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • PVI: encontrar u(t)\) que satisfaz a equação \[u''+\omega_{0}^{2}u=f(t)
com condições iniciais
u(0)=0,\qquad u'(0)=0.
  • A força externa f(t) é uma onda quadrada periódica de período 2, dada por
f(t)=\begin{cases} 1, & t\in[0,1),\\[4pt] -1, & t\in[1,2), \end{cases} \qquad f(t+2)=f(t).
  • O objetivo: obter u(t)\] para \(t\ge0. (O enunciado não especifica \omega_0\neq0, mas vamos assumir \omega_0>0. No final comento o caso \omega_0=0.)]

Passo 2

Ideia geral e fórmula fundamental (fórmula de Duhamel / resposta ao impulso).
  • Para a equação linear não-homogênea de segunda ordem
u''+\omega_0^2 u=f(t),
com condições iniciais u(0)=u'(0)=0, existe uma representação por convolução com a resposta ao impulso do oscilador linear. A solução é
u(t)=\int_{0}^{t}\!G(t-s)\,f(s)\,ds,
onde G é a função resposta ao impulso associada à equação homogênea. Para a equação u''+\omega_0^{2}u=0 com condições unitárias apropriadas, tem-se
G(t)=\frac{1}{\omega_0}\sin(\omega_0 t)\qquad(t\ge0).
  • Portanto, para nosso PVI com condições nulas:
\boxed{\,u(t)=\frac{1}{\omega_0}\int_{0}^{t}\sin\bigl(\omega_0(t-s)\bigr)\,f(s)\,ds.\,}
Explicação rápida de onde vem G: a solução homogênea geral é A\cos(\omega_0 t)+B\sin(\omega_0 t). Para condições nulas, a contribuição da condição inicial some e a influência de f acumula através dessa integral com o kernel \frac{1}{\omega_0}\sin(\omega_0 t). Essa representação é muito prática quando f é por partes constante, como aqui.

Passo 3

Calcular u(t) explicitamente no intervalo 0\le t<1.
  • Se 0\le t<1, então ao integrar de s=0 até s=t temos f(s)=1 em todo o intervalo [0,t]. Assim
u(t)=\frac{1}{\omega_0}\int_{0}^{t}\sin\bigl(\omega_0(t-s)\bigr)\cdot 1\,ds.
  • Mudar a variável r=t-s. Quando s=0 tem r=t; quando s=t tem r=0. Então
u(t)=\frac{1}{\omega_0}\int_{r=t}^{0}\sin(\omega_0 r)(-dr) =\frac{1}{\omega_0}\int_{0}^{t}\sin(\omega_0 r)\,dr.
  • Integral direta:
\int_{0}^{t}\sin(\omega_0 r)\,dr=\frac{1}{\omega_0}\bigl(1-\cos(\omega_0 t)\bigr).
  • Logo, para 0\le t<1
\boxed{\,u(t)=\frac{1}{\omega_0^{2}}\bigl(1-\cos(\omega_0 t)\bigr).\,}
Observação didática rápida: é a mesma forma que se obtém para força constante f\equiv 1 aplicada desde t=0; a oscilação inicial é construída pela convolução com \sin.

Passo 4

Calcular u(t) no intervalo 1\le t<2.
  • Para 1\le t<2 a integral \int_0^t precisa ser dividida em duas partes, porque f(s)=1 em s\in[0,1) e f(s)=-1 em s\in[1,t]. Assim
u(t)=\frac{1}{\omega_0}\Biggl(\int_{0}^{1}\sin\bigl(\omega_0(t-s)\bigr)\,ds +\int_{1}^{t}\sin\bigl(\omega_0(t-s)\bigr)\cdot(-1)\,ds\Biggr).
  • Calcule cada integral separadamente. Para a primeira, usando mudança r=t-s:
\int_{0}^{1}\sin\bigl(\omega_0(t-s)\bigr)\,ds =\int_{t}^{t-1}\sin(\omega_0 r)(-dr) =\int_{t-1}^{t}\sin(\omega_0 r)\,dr =\frac{1}{\omega_0}\Bigl(\cos\bigl(\omega_0(t-1)\bigr)-\cos(\omega_0 t)\Bigr).
  • Para a segunda:
\int_{1}^{t}\sin\bigl(\omega_0(t-s)\bigr)(-1)\,ds = -\int_{1}^{t}\sin\bigl(\omega_0(t-s)\bigr)\,ds.
Fazendo r=t-s novamente: quando s=1 tem r=t-1, quando s=t tem r=0. Então
-\int_{1}^{t}\sin\bigl(\omega_0(t-s)\bigr)\,ds =-\int_{t-1}^{0}\sin(\omega_0 r)(-dr) =-\int_{0}^{t-1}\sin(\omega_0 r)\,dr =-\frac{1}{\omega_0}\bigl(1-\cos(\omega_0(t-1))\bigr).
  • Somando as duas contribuições e multiplicando por \tfrac{1}{\omega_0} externo:
u(t)=\frac{1}{\omega_0}\cdot\frac{1}{\omega_0}\Bigl(\cos\bigl(\omega_0(t-1)\bigr)-\cos(\omega_0 t)-\bigl(1-\cos(\omega_0(t-1))\bigr)\Bigr).
  • Simplificando:
u(t)=\frac{1}{\omega_0^{2}}\Bigl(2\cos\bigl(\omega_0(t-1)\bigr)-\cos(\omega_0 t)-1\Bigr).
  • Portanto, para 1\le t<2:
\boxed{\,u(t)=\frac{1}{\omega_0^{2}}\Bigl(2\cos\bigl(\omega_0(t-1)\bigr)-\cos(\omega_0 t)-1\Bigr).\,}
Breve verificação: em t=1 as duas fórmulas coincidem, dando u(1)=\tfrac{1}{\omega_0^{2}}(1-\cos\omega_0), então u é contínua em t=1 (esperado).

Passo 5

Expressões para u'(t) e continuidade das derivadas (intuition prática para a prova).
  • Diferenciando a fórmula de convolução sob a integral (válido porque kernel suave e f por partes contínua), obtemos
u'(t)=\frac{1}{\omega_0}\int_{0}^{t}\cos\bigl(\omega_0(t-s)\bigr)\,\omega_0\,f(s)\,ds =\int_{0}^{t}\cos\bigl(\omega_0(t-s)\bigr)\,f(s)\,ds.
  • No intervalo 0\le t<1 esta dá
u'(t)=\int_0^t\cos(\omega_0(t-s))\,ds =\frac{1}{\omega_0}\sin(\omega_0 t).
  • No intervalo 1\le t<2 pode-se calcular o u'(t) correspondente (procedimento análogo ao passo anterior); em t=1 verifica-se a continuidade de u'. Em geral, u'' terá descontinuidades quando f pula (pois u''=-\omega_0^2 u+f), o que é normal.

Passo 6

Como obter u(t) para t\ge2 (estratégia e forma geral).
  • A solução geral para qualquer t\ge0 continua sendo a fórmula de convolução
\boxed{\,u(t)=\frac{1}{\omega_0}\int_{0}^{t}\sin\bigl(\omega_0(t-s)\bigr)\,f(s)\,ds.\,}
  • Para calcular explicitamente u(t) em um t qualquer, escreva t=2N+\tau com N=\lfloor t/2\rfloor e \tau\in[0,2). Então separam-se as integrais sobre cada período de f:
u(t)=\frac{1}{\omega_0}\sum_{k=0}^{N-1}\int_{2k}^{2k+2}\sin\bigl(\omega_0(t-s)\bigr)f(s)\,ds +\frac{1}{\omega_0}\int_{2N}^{2N+\tau}\sin\bigl(\omega_0(t-s)\bigr)f(s)\,ds.
  • Em cada período a função f tem o mesmo padrão, então cada integral sobre [2k,2k+2] é uma tradução da integral sobre [0,2] e pode ser transformada usando identidades trigonométricas em termos da integral sobre [0,2] multiplicada por \cos(2k\omega_0) e \sin(2k\omega_0). Assim u(t) resulta numa combinação linear de somas geométricas de \cos(2k\omega_0) e \sin(2k\omega_0) (fórmula fechada possível via soma de progressão geométrica complexa).
  • Resumo prático para a prova: para qualquer t basta partir da expressão de convolução e dividir a integração em blocos de comprimento 1 ou 2 (como fizemos nos passos 3–4). Se for preciso expressar em forma fechada para t grande, computa-se as integrais de um período e soma-se a contribuição das cópias deslocadas usando somas geométricas de termos e^{i2k\omega_0}. Cuidado com casos de ressonância quando e^{i2\omega_0}=1 (i.e. \omega_0=k\pi), aí as somas degeneram e há fórmulas limites (aplicar limite ou somas aritméticas).

Passo 7

Caso especial \omega_0=0 (comentário breve)
  • Se \omega_0=0 a equação torna-se u''=f(t) com u(0)=u'(0)=0. A resolução é dupla integração:
u(t)=\int_{0}^{t}\!\int_{0}^{s}f(r)\,dr\,ds.
  • Para 0\le t<1 isso dá u(t)=\int_0^t\int_0^s 1\,dr\,ds=\tfrac{1}{2}t^2. Para 1\le t<2 tem-se expressão polinomial obtida somando a parte da primeira unidade de tempo e a parte com f=-1, e assim por diante por períodos.

Resposta

u(t)=\frac{1}{\omega_0}\int_{0}^{t}\sin\bigl(\omega_0(t-s)\bigr)\,f(s)\,ds,
com as fórmulas explícitas nos dois primeiros subintervalos do período:
\begin{aligned} &\text{Para }0\le t<1:\qquad u(t)=\frac{1}{\omega_0^{2}}\bigl(1-\cos(\omega_0 t)\bigr),\\[6pt] &\text{Para }1\le t<2:\qquad u(t)=\frac{1}{\omega_0^{2}}\Bigl(2\cos\bigl(\omega_0(t-1)\bigr)-\cos(\omega_0 t)-1\Bigr). \end{aligned}]

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