Esboce a região delimitada, simultaneamente, pelas curvas indicadas e encontre sua área.
y=x^{3}, y=6 x-x^{2}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: esboçar a região delimitada simultaneamente pelas curvas e encontrar a área dessa região. As curvas dadas são:
  • y=x^{3}
  • y=6x-x^{2}
Informações relevantes do enunciado que usaremos:
  • Ambas as curvas são funções reais y=f(x) definidas para todo x\in\mathbb{R}.
  • A região procurada é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem as duas desigualdades adequadas entre as funções, ou seja, a área encerrada entre as duas curvas onde elas se encontram (entre os pontos de interseção).

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção das curvas — são os valores de x que satisfazem simultaneamente as duas equações. Igualamos as expressões de y:
x^{3} = 6x - x^{2}.
Colocamos tudo em um lado para resolver:
x^{3} + x^{2} - 6x = 0.
Fatorando x em evidência:
x(x^{2} + x - 6) = 0.
Agora fatoramos o polinômio quadrático x^{2}+x-6. Ele se fatoriza como (x+3)(x-2) porque (+3)\cdot(-2)=-6 e +3 + (-2)=+1. Logo:
x(x+3)(x-2)=0.
Portanto os pontos de interseção ocorrem em
x=0,\qquad x=-3,\qquad x=2.
Cada um desses valores de x dá um ponto de interseção (x,y) substituindo numa das curvas (elas têm mesmo y nesses x):
\text{pontos: }(-3,\,(-3)^{3}),\\ (0,\,0^{3}),\\ (2,\,2^{3}).
Se quiser os y explícitos: (-3,-27),\\ (0,0),\\ (2,8).

Passo 3

Determinar qual curva está “por cima” (maior y) em cada intervalo entre as interseções. Isso é necessário para montar a integral da área entre curvas, que sempre usa a diferença \text{(topo)}-\text{(base)}.
Defina a diferença
\Delta(x) = \bigl(6x - x^{2}\bigr) - x^{3}.
Se \Delta(x)>0 então y=6x-x^{2} está acima de y=x^{3}; se \Delta(x)<0 é o contrário.
Podemos usar amostras simples em cada intervalo formado pelas raízes x=-3,0,2:
  • Para x\in(-3,0) pegue x=-2. Calculando: x^{3}=(-2)^{3}=-8,\qquad 6x-x^{2}=6(-2)-(-2)^{2}=-12-4=-16.Aqui -8>-16, logo y=x^{3} está acima de y=6x-x^{2} nesse intervalo.
  • Para x\in(0,2) pegue x=1. Calculando: x^{3}=1,\qquad 6x-x^{2}=6-1=5.Aqui 5>1, logo y=6x-x^{2} está acima de y=x^{3} nesse intervalo.
Portanto o topo muda em x=0. Em resumo:
  • No intervalo [-3,0]: topo = y=x^{3}, base = y=6x-x^{2}.
  • No intervalo [0,2]: topo = y=6x-x^{2}, base = y=x^{3}.
Obs.: é essencial identificar corretamente o topo e a base para não obter área negativa. Por isso testamos pontos em cada subintervalo.

Passo 4

Fórmula e montagem das integrais. A área A entre duas curvas y=f(x) (topo) e y=g(x) (base) sobre um intervalo [a,b] é
A=\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.
Quando o topo muda no meio do domínio (como aqui em x=0), dividimos a área em integrais sobre subintervalos onde a ordem é fixa e somamos.
Pelo que achamos em

Passo 5

A=\int_{-3}^{0}\bigl(x^{3}-(6x-x^{2})\bigr)\,dx\;+\;\int_{0}^{2}\bigl((6x-x^{2})-x^{3}\bigr)\,dx.
Vamos simplificar os integrandos antes de integrar:
x^{3}-(6x-x^{2})=x^{3}+x^{2}-6x,
(6x-x^{2})-x^{3}=-x^{3}-x^{2}+6x = -\bigl(x^{3}+x^{2}-6x\bigr).

Passo 6

Integração passo a passo. Primeiro encontre uma antiderivada comum para o polinômio x^{3}+x^{2}-6x. Integramos termo a termo:
  • \displaystyle\int x^{3}\,dx = \frac{1}{4}x^{4}.
  • \displaystyle\int x^{2}\,dx = \frac{1}{3}x^{3}.
  • \displaystyle\int (-6x)\,dx = -3x^{2}.
Portanto uma primitiva é
F(x)=\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{3}x^{3}-3x^{2}.
Agora calculamos cada integral.
Integral 1:
\int_{-3}^{0}\bigl(x^{3}+x^{2}-6x\bigr)\,dx = \bigl[F(x)\bigr]_{-3}^{0} = F(0)-F(-3).
Calcule F(0)=0.
Calcule F(-3):
F(-3)=\frac{1}{4}(-3)^{4}+\frac{1}{3}(-3)^{3}-3(-3)^{2} =\frac{1}{4}\cdot81+\frac{1}{3}\cdot(-27)-3\cdot9 =\frac{81}{4}-9-27=\frac{81}{4}-36=\frac{81-144}{4}=-\frac{63}{4}.
Portanto
\int_{-3}^{0}\bigl(x^{3}+x^{2}-6x\bigr)\,dx = 0 - \Bigl(-\frac{63}{4}\Bigr)=\frac{63}{4}.
Integral 2:
\int_{0}^{2}\bigl(-\bigl(x^{3}+x^{2}-6x\bigr)\bigr)\,dx = -\bigl[F(x)\bigr]_{0}^{2} = -\bigl(F(2)-F(0)\bigr).
Já sabemos F(0)=0. Calcule F(2):
F(2)=\frac{1}{4}2^{4}+\frac{1}{3}2^{3}-3\cdot2^{2} =\frac{1}{4}\cdot16+\frac{1}{3}\cdot8-3\cdot4 =4+\frac{8}{3}-12= -8+\frac{8}{3}=\frac{-24+8}{3}=-\frac{16}{3}.
Assim
\int_{0}^{2}\bigl(-\bigl(x^{3}+x^{2}-6x\bigr)\bigr)\,dx = -\bigl(-\tfrac{16}{3}-0\bigr)=\frac{16}{3}.

Passo 7

Somar as duas parcelas de área:
A=\frac{63}{4}+\frac{16}{3}.
Colocando em denominador comum 12:
A=\frac{63\cdot3}{12}+\frac{16\cdot4}{12}=\frac{189+64}{12}=\frac{253}{12}.
Como decimal aproximado isso é \dfrac{253}{12}\approx 21{,}0833.

Passo 8

Esboço e interpretação rápida (como desenhar na prova). As interseções em x=-3,0,2 e os y correspondentes (-27,0,8) mostram que:
  • Para x<-3 as curvas não delimitam a região de interesse (não fecham).
  • Entre -3 e 0 a curva cúbica y=x^{3} fica acima da parábola invertida y=6x-x^{2}, então a região é uma “faixa” entre elas curvando para cima (a cúbica) e para baixo (a parábola).
  • Entre 0 e 2 a parábola fica acima da cúbica, fechando a outra parte da região até x=2.
    Desenhe os pontos (-3,-27), (0,0), (2,8), trace a cúbica (passa por esses pontos com inflexões) e a parábola (abre para baixo, com vértice em x=3 não relevante aqui) e marque a área entre elas; a área total é a soma das duas “fatias” calculadas.

Resposta

\dfrac{253}{12}

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