Esboce a região delimitada, simultaneamente, pelas curvas indicadas e encontre sua área.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: esboçar a região delimitada simultaneamente pelas curvas e encontrar a área dessa região. As curvas dadas são:
Informações relevantes do enunciado que usaremos:
- Ambas as curvas são funções reais
definidas para todo . - A região procurada é o conjunto de pontos
que satisfazem as duas desigualdades adequadas entre as funções, ou seja, a área encerrada entre as duas curvas onde elas se encontram (entre os pontos de interseção).
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção das curvas — são os valores de
que satisfazem simultaneamente as duas equações. Igualamos as expressões de
:
Colocamos tudo em um lado para resolver:
Fatorando
em evidência:
Agora fatoramos o polinômio quadrático
. Ele se fatoriza como
porque
e
. Logo:
Portanto os pontos de interseção ocorrem em
Cada um desses valores de
dá um ponto de interseção
substituindo numa das curvas (elas têm mesmo
nesses
):
Se quiser os
explícitos:
.
Passo 3
Determinar qual curva está “por cima” (maior
) em cada intervalo entre as interseções. Isso é necessário para montar a integral da área entre curvas, que sempre usa a diferença
.
Defina a diferença
Se
então
está acima de
; se
é o contrário.
Podemos usar amostras simples em cada intervalo formado pelas raízes
:
- Para
pegue . Calculando: Aqui , logo está acima de nesse intervalo. - Para
pegue . Calculando: Aqui , logo está acima de nesse intervalo.
Portanto o topo muda em
. Em resumo:
- No intervalo
: topo = , base = . - No intervalo
: topo = , base = .
Obs.: é essencial identificar corretamente o topo e a base para não obter área negativa. Por isso testamos pontos em cada subintervalo.
Passo 4
Fórmula e montagem das integrais. A área
entre duas curvas
(topo) e
(base) sobre um intervalo
é
Quando o topo muda no meio do domínio (como aqui em
), dividimos a área em integrais sobre subintervalos onde a ordem é fixa e somamos.
Pelo que achamos em
Passo 5
Vamos simplificar os integrandos antes de integrar:
Passo 6
Integração passo a passo. Primeiro encontre uma antiderivada comum para o polinômio
. Integramos termo a termo:
-
. -
. -
.
Portanto uma primitiva é
Agora calculamos cada integral.
Integral 1:
Calcule
.
Calcule :
Calcule
Portanto
Integral 2:
Já sabemos
. Calcule
:
Assim
Passo 7
Somar as duas parcelas de área:
Colocando em denominador comum
:
Como decimal aproximado isso é
.
Passo 8
Esboço e interpretação rápida (como desenhar na prova). As interseções em
e os
correspondentes
mostram que:
- Para
as curvas não delimitam a região de interesse (não fecham). - Entre
e a curva cúbica fica acima da parábola invertida , então a região é uma “faixa” entre elas curvando para cima (a cúbica) e para baixo (a parábola). - Entre
e a parábola fica acima da cúbica, fechando a outra parte da região até .
Desenhe os pontos, , , trace a cúbica (passa por esses pontos com inflexões) e a parábola (abre para baixo, com vértice em não relevante aqui) e marque a área entre elas; a área total é a soma das duas “fatias” calculadas.