Esboce a região no espaço delimitada pelo plano z=0, z=4 e o parabolóide de equação 4 x^2+4 y^2=c z.

Passo 1

O enunciado pede para a gente desenhar no espaço a região que fica entre o plano de baixo z=0, o plano de cima z=4 e o parabolóide dado por 4x²+4y²=cz.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o parabolóide: basta isolar z na equação. A gente tem 4x²+4y²=cz, logo
z = 4x^2+4y^2c,ou seja, é um parabolóide de revolução em torno do eixo z, que abre para cima a partir da origem.

Passo 3

A interseção desse parabolóide com o plano z=4 aparece quando plugamos z=4 na equação original:
4x^2+4y^2 = ccdot4 implies x^2+y^2 = cEntão, no plano z=4, a “borda” da nossa região é um círculo de raio raizc.

Passo 4

Para esboçar, desenhe os três eixos (x, y, z), depois rascunhe o parabolóide começando em (0,0,0) e abrindo para cima, e marque o plano z=4 cortando esse “copinho” numa circunferência de raio raizc.
A região pedida é todo o volume dentro desse copo desde z=0 até z=4, limitado lateralmente pelo parabolóide.

Resposta

Um “copinho” de parabolóide de revolução dado por z=(4x²+4y²)/c, tronco entre z=0 (ponta) e z=4 (fatia), lembrando que na tampa superior z=4 a seção é o círculo x²+y²=c, e tudo isso forma o volume pedido.

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