Esboce a região no espaço delimitada pelo plano
e o parabolóide de equação
.
Passo 1
O enunciado pede para a gente desenhar no espaço a região que fica entre o plano de baixo z=0, o plano de cima z=4 e o parabolóide dado por 4x²+4y²=cz.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o parabolóide: basta isolar z na equação. A gente tem 4x²+4y²=cz, logo
Passo 3
A interseção desse parabolóide com o plano z=4 aparece quando plugamos z=4 na equação original:
Passo 4
Para esboçar, desenhe os três eixos (x, y, z), depois rascunhe o parabolóide começando em (0,0,0) e abrindo para cima, e marque o plano z=4 cortando esse “copinho” numa circunferência de raio
.
A região pedida é todo o volume dentro desse copo desde z=0 até z=4, limitado lateralmente pelo parabolóide.
A região pedida é todo o volume dentro desse copo desde z=0 até z=4, limitado lateralmente pelo parabolóide.
Resposta
Um “copinho” de parabolóide de revolução dado por z=(4x²+4y²)/c, tronco entre z=0 (ponta) e z=4 (fatia), lembrando que na tampa superior z=4 a seção é o círculo x²+y²=c, e tudo isso forma o volume pedido.