Resolva a E.D.O, utilizando o método de separação de variáveis (ou equações separáveis).
(1-x) y^prime+y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação (1 - x) y' + y = 0 por separação de variáveis. É uma E.D.O. de primeira ordem e o método envolve isolar y' e separar as variáveis y e x.

Passo 2

Reescrevendo em forma de derivada, temos (1 - x),y' = -y, ou seja
y' = dydx = -y1 - x
Agora separamos as variáveis colocando todos os termos com y de um lado e os com x do outro:
1y,dy = -11 - x,dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral 1y,dy = integral -11 - x,dx
No lado esquerdo fica ln|y|. No lado direito, fazendo u = 1 - x e du = -dx, temos
Assim,
integral -11 - x,dx = integral 1u,du = ln|u| = ln|1 - x|
onde ln|y| = ln|1 - x| + C, é a constante de integração.

Passo 4

Para isolar y, exponenciamos ambos os lados:
|y| = e^ln|1 - x| + C = e^C ;|1 - x|
Chamando K = pm e^C, obtemos
y = K,(1 - x),
que é a solução geral da equação separável dada.

Resposta

y = C,(1 - x), onde C é a constante de integração.

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