Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e Calcule a integral.
\int_{0}^{8} \int_{\sqrt[3]{x}}^{2} \frac{1}{y^{4}+1} d y d x

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (a) esboçar a região de integração, (b) inverter a ordem de integração e (c) calcular a integral
\int_{0}^{8}\int_{\sqrt[3]{x}}^{2}\frac{1}{y^{4}+1}\,dy\,dx.
Informações dadas que vamos usar: para cada x em [0,8] a variável y varia de y=\sqrt[3]{x} até y=2. A curva \,y=\sqrt[3]{x}\, é equivalente à curva \,x=y^{3}\,. Os limites exteriores e interiores estão claramente indicados: x vai de 0 a 8 e y vai de \sqrt[3]{x} a 2.

Passo 2

Esboço verbal da região (faça este desenho no caderno):
  • Trace os eixos x (horizontal) e y (vertical).
  • Desenhe a curva x=y^{3}. Ela passa por (0,0) e por (8,2) porque 2^{3}=8. Para y\ge0 é uma curva crescente que sobe lentamente e depois mais acentuada.
  • Desenhe a reta horizontal y=2.
  • A região descrita pela integral é o conjunto de pontos entre a curva x=y^{3} (à direita do eixo y para y\ge0) e a reta vertical x=0, com y variando até 2. Mais precisamente: todos os pontos com 0\le x\le8 e \sqrt[3]{x}\le y\le2.
  • Observação-chave para o esboço: na borda superior y=2 temos o ponto (8,2) (peguei esse dado do próprio enunciado via x=8 e y=2); na borda inferior a curva começa em (0,0).

Passo 3

Trocar a ordem de integração — raciocínio geométrico:
  • A desigualdade \sqrt[3]{x}\le y\le2 é equivalente a x\le y^{3} e y\le2.
  • Como x originalmente correu de 0 a 8, e a curva x=y^{3} com y entre 0 e 2 gera x entre 0 e 8, a projeção da região no eixo y é o intervalo 0\le y\le2.
  • Para cada y fixo em [0,2], x varia desde a linha vertical x=0 até a curva x=y^{3}.
    Portanto a integral com ordem invertida fica
\int_{y=0}^{2}\int_{x=0}^{y^{3}}\frac{1}{y^{4}+1}\,dx\,dy.

Passo 4

Calcule a integral interna (em x) na ordem invertida:
  • Note que a integranda \frac{1}{y^{4}+1} não depende de x, logo a integral em x é simples:
\int_{0}^{y^{3}}\frac{1}{y^{4}+1}\,dx = \frac{1}{y^{4}+1}\int_{0}^{y^{3}}dx = \frac{1}{y^{4}+1}\bigl[x\bigr]_{0}^{y^{3}} = \frac{y^{3}}{y^{4}+1}.

Passo 5

Reduzimos o problema a uma integral em y:
\int_{0}^{2}\frac{y^{3}}{y^{4}+1}\,dy.
Para calcular esta integral usamos substituição (explico passo a passo):
  • Escolhemos u=y^{4}+1 porque a derivada de y^{4} é 4y^{3}, e temos exatamente um y^{3} no numerador.
  • Então du=4y^{3}\,dy, isto é y^{3}\,dy=\frac{1}{4}\,du.
  • Quando y=0 temos u=0^{4}+1=1. Quando y=2 temos u=2^{4}+1=17.
    Aplicando a substituição:
\int_{0}^{2}\frac{y^{3}}{y^{4}+1}\,dy = \int_{u=1}^{17}\frac{1}{u}\cdot\frac{1}{4}\,du = \frac{1}{4}\int_{1}^{17}\frac{1}{u}\,du = \frac{1}{4}\bigl[\ln u\bigr]_{1}^{17} = \frac{1}{4}\bigl(\ln 17-\ln 1\bigr).
Como \ln 1=0, o valor final é \frac{1}{4}\ln 17.

Passo 6

Resumo final: a região esboçada é a que fica entre x=0, a curva x=y^{3} e a reta y=2; a ordem invertida da integral é \displaystyle \int_{0}^{2}\int_{0}^{y^{3}}\frac{1}{y^{4}+1}\,dx\,dy; a integral avaliada dá \displaystyle \frac{1}{4}\ln 17.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}\ln 17

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