Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e Calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede três coisas: (a) esboçar a região de integração, (b) inverter a ordem de integração e (c) calcular a integral
Informações dadas que vamos usar: para cada
em
a variável
varia de
até
. A curva
é equivalente à curva
. Os limites exteriores e interiores estão claramente indicados:
vai de
a
e
vai de
a
.
Passo 2
Esboço verbal da região (faça este desenho no caderno):
- Trace os eixos
(horizontal) e (vertical). - Desenhe a curva
. Ela passa por e por porque . Para é uma curva crescente que sobe lentamente e depois mais acentuada. - Desenhe a reta horizontal
. - A região descrita pela integral é o conjunto de pontos entre a curva
(à direita do eixo para ) e a reta vertical , com variando até . Mais precisamente: todos os pontos com e . - Observação-chave para o esboço: na borda superior
temos o ponto (peguei esse dado do próprio enunciado via e ); na borda inferior a curva começa em .
Passo 3
Trocar a ordem de integração — raciocínio geométrico:
- A desigualdade
é equivalente a e . - Como
originalmente correu de a , e a curva com entre e gera entre e , a projeção da região no eixo é o intervalo . - Para cada
fixo em , varia desde a linha vertical até a curva .
Portanto a integral com ordem invertida fica
Passo 4
Calcule a integral interna (em
) na ordem invertida:
- Note que a integranda
não depende de , logo a integral em é simples:
Passo 5
Reduzimos o problema a uma integral em
:
Para calcular esta integral usamos substituição (explico passo a passo):
- Escolhemos
porque a derivada de é , e temos exatamente um no numerador. - Então
, isto é . - Quando
temos . Quando temos .
Aplicando a substituição:
Como
, o valor final é
.
Passo 6
Resumo final: a região esboçada é a que fica entre
, a curva
e a reta
; a ordem invertida da integral é
; a integral avaliada dá
.