Esboce a região de integração e calcule as integrais:
onde
Passo 1
Nós queremos calcular a integral dupla de f(x,y)=x y³ sobre a região D definida por 1≤x≤2 e 0≤y≤2x — isso é um exercício de integrais duplas em coordenadas cartesianas, em que precisamos descrever D como um iterado e usar regra de potência nas integrais.
Passo 2
Para esboçar D, trace as retas x=1 e x=2 (verticais), a reta y=0 (eixo x) e a reta y=2x. Em x=1, y vai de 0 a 2; em x=2, y vai de 0 a 4. A região D é o trapézio limitado por essas curvas.
Passo 3
Como y varia de 0 a 2x para cada x∈[1,2], montamos a integral iterada:
Passo 4
Passo 5
Na integral interna em y, x é constante, então usamos a regra de potência:
Passo 6
Passo 7
Agora integramos em x:
Passo 8
Resposta
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