Esboce a região de integração e calcule as integrais:
integral duplaD x y^3 d x d y onde D=(x, y) in R^2 mid 1 <= x <= 2,0 <= y <= 2 x

Passo 1

Nós queremos calcular a integral dupla de f(x,y)=x y³ sobre a região D definida por 1≤x≤2 e 0≤y≤2x — isso é um exercício de integrais duplas em coordenadas cartesianas, em que precisamos descrever D como um iterado e usar regra de potência nas integrais.

Passo 2

Para esboçar D, trace as retas x=1 e x=2 (verticais), a reta y=0 (eixo x) e a reta y=2x. Em x=1, y vai de 0 a 2; em x=2, y vai de 0 a 4. A região D é o trapézio limitado por essas curvas.

Passo 3

Como y varia de 0 a 2x para cada x∈[1,2], montamos a integral iterada:

Passo 4

integral duplaD x y^3,dx,dy = integralx=1^2integraly=0^2x x y^3,dy,dx

Passo 5

Na integral interna em y, x é constante, então usamos a regra de potência:

Passo 6

integral0^2x x y^3,dy = x integral0^2x y^3,dy = x [y^44]0^2x = xcdot(2x)^44 = xcdot16x^44 = 4x^5

Passo 7

Agora integramos em x:

Passo 8

integral1^24x^5,dx = 4[x^66]1^2 = 4l(646-16r) = 4cdot636 = 42

Resposta

42

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