Sejam y1 e y2 soluções da equação homogênea y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=0. Sabemos que as funções y3=y1+y2 e y4=y1-y2 também são soluções desta equação. Mostre que se y3 e y4 são linearmente independentes então y1 e y2 também são linearmente independentes.

Passo 1

O enunciado dá a equação homogênea
y'' + p(t),y' + q(t),y = 0
com soluções y1 e y2. Definimos
y3 = y1 + y2, y4 = y1 - y2
e sabemos que y3 e y4 também satisfazem a mesma equação. Queremos mostrar que, se y3 e y4 são linearmente independentes, então y1 e y2 também o são. Para isso usaremos a definição de independência linear de funções.

Passo 2

Relembrando a definição: duas funções f e g são linearmente independentes se, sempre que
c1,f(t) + c2,g(t) = 0para todo t
então obrigatoriamente c1=c2=0. Vamos aplicar essa ideia a uma combinação linear de y1 e y2 e usar a independência de y3 e y4.

Passo 3

Das definições de y3 e y4 temos um sistema linear em y1,y2:
y3 = y1+y2, y4 = y1-y2
Invertendo, obtemos
y1 = y3+y42, y2 = y3-y42

Passo 4

Suponha que exista uma combinação linear nula de y1 e y2:
c1,y1(t) + c2,y2(t) = 0forall,t
Substituindo as expressões de y1 e y2 em termos de y3,y4, vem
c1,y3+y42 + c2,y3-y42 = 0 Longrightarrow c1+c22,y3 + c1-c22,y4 = 0
Como y3 e y4 são linearmente independentes, os coeficientes devem ser zero:
c1+c22 = 0, c1-c22 = 0 Longrightarrow c1=0,;c2=0
Logo não existe combinação não trivial que anule y1 e y2.

Resposta

As funções y1 e y2 são linearmente independentes.

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