Sejam
e
soluções da equação homogênea
. Sabemos que as funções
e
também são soluções desta equação. Mostre que se
e
são linearmente independentes então
e
também são linearmente independentes.
Passo 1
O enunciado dá a equação homogênea
com soluções
e
. Definimos
e sabemos que
e
também satisfazem a mesma equação. Queremos mostrar que, se
e
são linearmente independentes, então
e
também o são. Para isso usaremos a definição de independência linear de funções.
Passo 2
Relembrando a definição: duas funções
e
são linearmente independentes se, sempre que
então obrigatoriamente
. Vamos aplicar essa ideia a uma combinação linear de
e
e usar a independência de
e
.
Passo 3
Das definições de
e
temos um sistema linear em
:
Invertendo, obtemos
Passo 4
Suponha que exista uma combinação linear nula de
e
:
Substituindo as expressões de
e
em termos de
, vem
Como
e
são linearmente independentes, os coeficientes devem ser zero:
Logo não existe combinação não trivial que anule
e
.
Resposta
As funções
e
são linearmente independentes.